Question

已知函数f(x)=log1/2√2sin(2x-π/4) (1)求它的定义域和值域 (2)判定它的奇偶性和周期性

（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性

Answer 1

（1）定义域为sin(2x-π/4)>0，即 2kπ<2x-π/4<2kπ+π，
即kπ+π/8<x<kπ+5π/8，∴函数定义域为(kπ+π/8,kπ+5π/8)
∵log1/2(x)为单调递减函数
∴当√2sin(2x-π/4)=√2时，f(x)取得最小值-1/2
当√2sin(2x-π/4)->0时，f(x)->+∞
∴函数值域为[-1/2,+∞)
（2）∵f(-x)=log1/2[√2sin(-2x-π/4)]≠log1/2{1/[√2sin(2x-π/4)]}=-f(x)
∴f(x)不是奇函数
又∵f(-x)=log1/2[√2sin(-2x-π/4)]≠log1/2[√2sin(2x-π/4)]=f(x)
∴f(x)不是偶函数
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
由函数定义域可知，其最小正周期为π
（3）当f(x)取得最小值-1/2时，有sin(2x-π/4)=1
即有 2x-π/4=2kπ+π/2，解得x=kπ+3π/8
结合定义域，可知
函数的单调减区间为(kπ+π/8,kπ+3π/8]，单调增区间为[kπ+3π/8,kπ+5π/8)
在在每一区间上的单调性只需代入特定的k值即可