Question

设函数f(x)=log2^(mx^2-2x+2)的定义域为A，函数g(x)=(2-x)/(x+1),x∈[0,1]的值域为集合B。

（1）若A=R，求m的取值范围；
（2）若f(x)＞2定义x∈B恒成立，求m的取值范围。

谢谢！

Answer 1

f(x)=log2(mx^2-2x+2)吧？
1
因为定义域是R，即h(x)=mx^2-2x+2在R上恒大于0，当m=0时，h(x)=-2x+2，不满足条件
m<0时，h(x)开口向下，不满足条件，当m>0时，delta=4-8m<0，即：m>1/2时
h(x)恒大于0，此时满足题意，故：m>1/2
2
g(x)=(2-x)/(x+1)=-(x+1)/(x+1)+3/(x+1)=3/(x+1)-1，是反比例函数，在[0,1]上是减函数
x=0时，取最大值，gmax=g(0)=2，x=1时，取最小值，gmin=g(1)=1/2
故值域：g(x)∈[1/2,2]
由题意：x∈[1/2,2]，f(x)>2恒成立，即：log2(mx^2-2x+2)>2，即：mx^2-2x+2>4恒成立
故：mx^2-2x-2>0
当m=0时，k(x)=-2x-2，在区间[1/2,2]上不满足条件
m>0时，k(x)=mx^2-2x-2=m(x-1/m)^2-(2m+1)/m，此时，delta=4+8m>0，
1) 0<1/m<1/2，且f(1/2)>0时满足条件，即：m>2，f(1/2)=m/4-3，即m>12，故m>12
2) 1/m>2，且f(2)>0时满足条件，即：0<m<1/2，f(2)=4m-6，即m>3/2，故m无解
m<0时，k(x)=mx^2-2x-2=m(x-1/m)^2-(2m+1)/m，此时函数对称轴位于y轴左面
开口向下，函数在区间[1/2,2]上是减函数，要满足条件，需f(2)>0
即：f(2)=4m-6>0，即：m>3/2，这与m<0矛盾，故m<0时，不满足条件
所以：满足题意的m：m>12