Question

设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值； 请写出详细求导过

请写出详细求导过呈

Answer 1

对原函数求导
f'(x)=x*1/x+1*lnx+(1-x)*1/(1-x)*(-1)+(-1)ln(1-x)
=lnx-ln(1-x)
因为x>0且1-x>0，所以0<x<1（原函数定义域）
令f'(x)=lnx-ln(1-x)>0得
x-（1-x）>0进而求出x>1/2
令f'(x)=lnx-ln(1-x)<0得
x-（1-x）<0进而求出x<1/2
令f'(x)=lnx-ln(1-x)=0得
x-（1-x）=0进而求出x=1/2
由此可以得出
原函数在（0,1/2)单调递减，在（1/2,1)单调递增，所以x=1/2为极小值，而在封闭区间（0,1)中，此极小值即为函数的最小值，带入求得f（1/2)=ln1/2=-ln2
求解完毕

追问

为什么要乘-1呢x)*1/(1-x)*(-1

追答

这是对ln（1-x)求导得到的，ln（1-x）'=1/(1-x)*(1-x)'=1/(1-x)*(-1) 在这里是复合函数求导 一般公式是：记y=f(g(x))，则y'=f'（g（x））*g'（x） 在本题中g（x）=1-x，f（g（x））=ln(1-x) 不知道lz明白没

Answer 2

a=1，f(x)=xlnx+(1-x)ln(1-x)
定义域0<x<1
f'(x)=lnx+1-1-ln(1-x)=lnx-ln(1-x)=0,得; x=1-x,即x=1/2
x<1/2时，f'(x)<0
x>1/2时，f'(x)>0
所以f(1/2)=1/2* ln(1/2)+1/2* ln(1/2)=ln(1/2)=-ln2为极小值