如图,三角形ABC的边AB为直径的圆O经过BC的中点D,过D作DE垂直AC于E.求证:DE是圆O的切线
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连接OD，AD
∵AB是圆直径
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵AD=AD，BD=CD(D是BC的中点）
∴△ABD≌△ACD
∴∠C=∠B
∵OB=OD
∴∠B=∠C=∠ODB
∵DE⊥AC
∴∠C+∠CDE=90°
∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=180°-(∠ODB+∠CDE)=90°
∴OD⊥DE
即DE是圆O的切线
∵AB是圆直径
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵AD=AD，BD=CD(D是BC的中点）
∴△ABD≌△ACD
∴∠C=∠B
∵OB=OD
∴∠B=∠C=∠ODB
∵DE⊥AC
∴∠C+∠CDE=90°
∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=180°-(∠ODB+∠CDE)=90°
∴OD⊥DE
即DE是圆O的切线
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