Question

向量a与向量b是非零向量,且(向量a+向量b)垂直(向量a-向量b)

已知向量a与向量b是非零向量，且（a+b)垂直(a-b),(a+2b),(2a-b),求3a+4b与2a+b的夹角

Answer 1

由题意：(a+b)⊥(a-b)，则：(a+b) dot (a-b)=|a|^2-|b|^2=0，则：|a|=|b|
(a+b)⊥(a+2b)，则：(a+b) dot (a+2b)=|a|^2+2|b|^2+3(a dot b)=3|a|^2+3|a|*|b|*cos<a,b>
=3|a|^2+3|a|^2*cos<a,b>=0，所以：cos<a,b>=-1，所以：<a,b>=π
其实，第3个条件是一样的：(a+b)⊥(2a-b)，(a+b) dot (2a-b)=2|a|^2-|b|^2+a dot b
=|a|^2+|a|^2*cos<a,b>=|a|^2+|a|^2*(-1)=0
由这3个条件，可以得出：a和b是大小相等，方向相反的向量，即a=-b
所以，3a+4b=b，2a+b=-b，所以，3a+4b与2a+b也是大小相等，方向相反的向量
所以，3a+4b与2a+b的夹角为π

Answer 2

因为向量a与向量b是非零向量，且（a+b)垂直(a-b),(a+2b),(2a-b)
所以a+b=0
所以a=-b
所以(3a+4b)=b
(2a+b)=-b
所以3a+4b与2a+b的夹角为180度