Question

高等数学无穷级数问题

将函数展开成幂级数，展完了之后就要确定x的取值范围了，对于x的的范围，是要记住那常用的7个函数展开式的，范围也是要记住的，那再用间接法求出一个函数展开式的时候，是不是不能直接套用这些x的取值范围？是不是只能套用开区间？对于端点处的收敛性，是不是必须再带到幂级数那里去进行判断？判断的话是不是既要判断幂级数在这个端点处是不是收敛的，又要判断原函数在这个端点处是不是连续的，若两个都满足，才能确定在这个端点处取闭区间？

我对于一些有阶乘的幂级数，不会判断他的收敛性。我知道可以用比值法去判断（限正项），可是有些题目就是判断不出来，就像图中这个，当x=1时和当x=-1时我不会判断他的收敛性，我算过比值法，算出来是1，方法失效。求详解，万分感谢！！！

请先解答我上面一段的问题，对于这类问题，我都不是很清楚，谢谢，然后解答我下面一段的问题吗，万分感谢！！！

Answer 1

楼上对那几个问题讲解的都差不多,我补充几句，记公式套是最快捷的，端点处一般要检验一下，只要原函数端点处收敛，就需取闭区间。
你的图看不到，不知你用的是同济的高数书么，从他编书的顺序我们就可以看出判断函数敛散性的方法的适用范围。第一个方法：部分和数列有界。这个是判断收敛基本方法，是最强的。第二个方法：被判断级数小于一个收敛级数，则收敛；大于发散级数，则发散。这个强度次之。第三个方法：比较审敛法。需要构造级数，对于一般高数题，活用这个方法全部能做出来，这个方法比比值法强。第四个方法：比值法根值法（两个方法等价）。强度最低。一般做题选择方法从后向前用，先用第四个方法，能直接做出来甚好，做不出来也没关系，若比值或根值为1，则用第三个方法，构造级数，是万能方法，基本所有题都能做出来。

Answer 2

1、可以记公式去套，但是不建议。
2、如果套公式，区间两端是开还是闭与原来情况一致。
3、求收敛域的时候一般先求出收敛半径，即可得到收敛区间，再对端点处的取值进行判断是否收敛（跟连续无关），以求的收敛域。
4、比值法和根植法求得结果为1时，此时失效。可用其它方法判别，例如求出等价无穷小1/n^p，根据p的值判断。