Question

已知奇函数g(x)=ax+b/x^2+a(a∈N*,b∈R)的定义域为R,且恒有g(x)≤1/2。（1）求a,b的值（2）写出函数y=g(x)

【-1,1】上的单调性，并用定义证明。（3）讨论关于x的方程g(x)-t=0(t∈R)的根的个数。

Answer 1

（1）因为 g(x) 是 R 上的奇函数，因此 g(0)=0 ，得 b=0 ；
因为 a 为正整数，且 g(x)<=1/2 恒成立，因此 g(1)<=1/2 ，即 a/(a+1)<=1/2 ，
解得 a=1 。
（2）g(x) 在 [-1，1] 上为增函数。证明如下：
设 -1<=x1<x2<=1 ，
则 g(x1)-g(x2)=x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)
=[x1(x2^2+1)-x2(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=(x1-x2)(1-x1x2)/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
因为 -1<=x1<x2<=1 ，因此 x1-x2<0 ，1-x1x2>0 ，x1^2+1>0 ，x2^2+1>0 ，
所以 g(x1)<g(x2) ，
因此 g(x) 在 [-1，1] 上是增函数。
（3）仿（2）可以证明，g(x) 在（-∞，-1）上为减函数，在（1，+∞）上为减函数，
因此函数在 x= -1 处取极小值 g(-1)= -1/2 ，在 x=1 处取极大值 g(1)=1/2 ，
所以有
① 当 t< -1/2 时，g(x)-t=0 无解；
② 当 t= -1/2 时，g(x)-t=0 有唯一解 x= -1 ；
③ 当 -1/2<t<0 时，g(x)-t=0 有两个不同解；
④ 当 t=0 时，g(x)-t=0 有唯一解 x=0 ；
⑤ 当 0<t<1/2 时，g(x)-t=0 有两个不同解；
⑥ 当 t=1/2 时，g(x)-t=0 有唯一解 x=1 ；
⑦ 当 t>1/2 时，g(x)-t=0 无解 。