初三数学题,请高手解答
如图1,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点。点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速...
如图1,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点。点P从点B出发,以a cm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为t s。
(1)若a=2,设△BPQ的面积为y(cm²)
①.求出y与t的函数关系式;
②.是否存在某一时刻t,使△BPQ的面积最大?若存在求出此时t的值,并求出最大的面积;若不存在,说明理由。
(2)如图2,设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形。
①.若a=二分之五,求PQ的长;
②.是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由 展开
(1)若a=2,设△BPQ的面积为y(cm²)
①.求出y与t的函数关系式;
②.是否存在某一时刻t,使△BPQ的面积最大?若存在求出此时t的值,并求出最大的面积;若不存在,说明理由。
(2)如图2,设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形。
①.若a=二分之五,求PQ的长;
②.是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由 展开
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【考点】相似三角形的判定与性质;
等腰三 角形的性质;勾股定理;平
行四边形的性质.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)由△ABC中,
AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是
BC的中点,根据等腰三角形三线合
一的性质,即可求得BD与CD的长,
又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相
似三角形的对应边成比例,即可求得
t的值;
(2)①首先过点P作PE⊥BC于E,
由四边形PQCM为平行四边形,易证
得PB=PQ,又由平行线分线段成比
例定理,即可得方程5 2 t 10 =1 2
(6-t) 6 ,解此方程即可求得答案;
②首先假设存在点P在∠ACB的平分
线上,由四边形PQCM为平行四边
形,可得四边形PQCM是菱形,即可
得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及
可得方程组,解此方程组求得t值为
负,故可得不存在.
【解答】解:(1)△ABC中,
AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC
的中点,
∴BD=CD=1 2 BC=6cm,
∵a=2,
∴BP=2tcm,DQ=tcm,
∴BQ=BD-QD=6-t(cm),
∵△BPQ∽△BDA,
∴BP BD =BQ AB ,
即2t 6 = 6-t 10 ,
解得:t=18 13 ;
(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,
∴PB=CM,
∴PB=PQ,
∴BE=1 2 BQ=1 2 (6-t)cm,
∵a=5 2 ,
∴PB=5 2 tcm,
∵AD⊥BC,
∴PE∥AD,
∴PB:AB=BE:BD,
即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ,
解得:t=3 2 ,
∴PQ=PB=5 2 t=15 4 (cm);
②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ.
若点P在∠ACB的平分线上,则
∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,
∴∠PCQ=∠CPM,
∴∠CPM=∠PCM,
∴PM=CM,
∴四边形PQCM是菱形,
∴PQ=CQ,
∴PB=CQ,
∵PB=atcm,CQ=BD+QD=6+t
(cm),
∴PM=CQ=6+t(cm),AP=AB-
PB=10-at(cm),
即at=6+t①,
∵PM∥CQ,
∴PM:BC=AP:AB,
∴6+t 12 =10-at 10 ,
化简得:6at+5t=30②,
把①代入②得,t=-6 11 ,
∴不存在实数a,使得点P在∠ACB
的平分线上.
等腰三 角形的性质;勾股定理;平
行四边形的性质.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)由△ABC中,
AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是
BC的中点,根据等腰三角形三线合
一的性质,即可求得BD与CD的长,
又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相
似三角形的对应边成比例,即可求得
t的值;
(2)①首先过点P作PE⊥BC于E,
由四边形PQCM为平行四边形,易证
得PB=PQ,又由平行线分线段成比
例定理,即可得方程5 2 t 10 =1 2
(6-t) 6 ,解此方程即可求得答案;
②首先假设存在点P在∠ACB的平分
线上,由四边形PQCM为平行四边
形,可得四边形PQCM是菱形,即可
得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及
可得方程组,解此方程组求得t值为
负,故可得不存在.
【解答】解:(1)△ABC中,
AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC
的中点,
∴BD=CD=1 2 BC=6cm,
∵a=2,
∴BP=2tcm,DQ=tcm,
∴BQ=BD-QD=6-t(cm),
∵△BPQ∽△BDA,
∴BP BD =BQ AB ,
即2t 6 = 6-t 10 ,
解得:t=18 13 ;
(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,
∴PB=CM,
∴PB=PQ,
∴BE=1 2 BQ=1 2 (6-t)cm,
∵a=5 2 ,
∴PB=5 2 tcm,
∵AD⊥BC,
∴PE∥AD,
∴PB:AB=BE:BD,
即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ,
解得:t=3 2 ,
∴PQ=PB=5 2 t=15 4 (cm);
②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ.
若点P在∠ACB的平分线上,则
∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,
∴∠PCQ=∠CPM,
∴∠CPM=∠PCM,
∴PM=CM,
∴四边形PQCM是菱形,
∴PQ=CQ,
∴PB=CQ,
∵PB=atcm,CQ=BD+QD=6+t
(cm),
∴PM=CQ=6+t(cm),AP=AB-
PB=10-at(cm),
即at=6+t①,
∵PM∥CQ,
∴PM:BC=AP:AB,
∴6+t 12 =10-at 10 ,
化简得:6at+5t=30②,
把①代入②得,t=-6 11 ,
∴不存在实数a,使得点P在∠ACB
的平分线上.
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(1)由题可得 BD=CD, 且AD垂直于BC, 所以BD=CD=6cm,AD=8cm。
若a=2,当运行t秒后可得 BP=2t, BQ=6-t。过P点做BQ的垂线PE,垂足为E, 那么三角形BPE和三角形BAD相似, 所以BP/BA=PE/AD, 即2t/10=PE/8 , 可得PE=1.6t
所以此时三角形BPQ的面积为y=BQ*PE/2=(6-t)*1.6t/2= -0.8t^2+4.8t
当t=-b/2a=-4.8/[2*(-0.8)]=3时, y有最大值, 此时三角形面积最大,最大值为 7.2
(2)若PQCM为平行四边形那么可得三角形BPQ和三角形BAC相似
所以当a=2.5时, 可得BP/BA=BQ/BC, 即2.5t/10=6-t/12 .解得t=1.5, 所以 BP=2.5t=2.5X1.5=3.75
因为PQCM为平行四边形,所以PM//QC且PQ//MC, 若存在P点且点P为角ACB的角平分线上,那么我们可得:
角MPC=角PCQ, CP为角ACB的角平分线,所以角MCP=角PCQ, 所以角PCQ=角MCP=角MPC, 所以MP=MC, 综上可得MP=MC=CQ=PQ
又三角形BPQ和三角形BAC相似, 所以可得BQ/BC=PQ/AC=CQ/AC,
即(6-t) /12=(6+t)/10, 可得 t=-6/11, 时间不能为负值, 所以此时不存在实数a,使得点P在角ACB的角平分线上。
若a=2,当运行t秒后可得 BP=2t, BQ=6-t。过P点做BQ的垂线PE,垂足为E, 那么三角形BPE和三角形BAD相似, 所以BP/BA=PE/AD, 即2t/10=PE/8 , 可得PE=1.6t
所以此时三角形BPQ的面积为y=BQ*PE/2=(6-t)*1.6t/2= -0.8t^2+4.8t
当t=-b/2a=-4.8/[2*(-0.8)]=3时, y有最大值, 此时三角形面积最大,最大值为 7.2
(2)若PQCM为平行四边形那么可得三角形BPQ和三角形BAC相似
所以当a=2.5时, 可得BP/BA=BQ/BC, 即2.5t/10=6-t/12 .解得t=1.5, 所以 BP=2.5t=2.5X1.5=3.75
因为PQCM为平行四边形,所以PM//QC且PQ//MC, 若存在P点且点P为角ACB的角平分线上,那么我们可得:
角MPC=角PCQ, CP为角ACB的角平分线,所以角MCP=角PCQ, 所以角PCQ=角MCP=角MPC, 所以MP=MC, 综上可得MP=MC=CQ=PQ
又三角形BPQ和三角形BAC相似, 所以可得BQ/BC=PQ/AC=CQ/AC,
即(6-t) /12=(6+t)/10, 可得 t=-6/11, 时间不能为负值, 所以此时不存在实数a,使得点P在角ACB的角平分线上。
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1.(1) AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点,AD垂直BC,BD=1/2BC=6cm,QB=6-t.
AD=√AB²-DB²=8,BP=2t
过P作PE垂直BQ于E,PB/AB=PE/AD,2t/10=PE/8,PE=8t/5
y=1/2BQ*PE=1/2*(6-t)*8t/5=-4/5t²24t/5,(t≤5)
(2)存在,t=-(24/5)/2*(-4/5)=3,时,最大的面积y=24/5(cm²)
2.(1)a=5/2,BP=5t/2 ,PM//BC, (10-5t/2)10=PM/12,PM=12-3t,QC=6+t
四边形PQCM为平行四边形,PM=QC,12-3t=6+t,t=1.5
PB=2.5*1.5=15/4,过P作PF垂直BC于F,PF/AD=PB/AB,PF=3
BF=√BP²-PF²=9/4,CF=BC-BF=12-9/4=39/4,
PC=√PF²+CF²=√1665/16=3√185/4c
(2)不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上
若存在,过P分别作PH垂直BC于H,PR垂直AC于R,PH=PR,
因S⊿ABC=S⊿PBC+S⊿PAC,即12PH+10PH=8*12,PH=48/11
PH/AD=BP/AB,BP=60/11, (10-60/11)/10=PM/12 ,PM=60/11 , 6+t=60/11,t=-4/11
所以,不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上
AD=√AB²-DB²=8,BP=2t
过P作PE垂直BQ于E,PB/AB=PE/AD,2t/10=PE/8,PE=8t/5
y=1/2BQ*PE=1/2*(6-t)*8t/5=-4/5t²24t/5,(t≤5)
(2)存在,t=-(24/5)/2*(-4/5)=3,时,最大的面积y=24/5(cm²)
2.(1)a=5/2,BP=5t/2 ,PM//BC, (10-5t/2)10=PM/12,PM=12-3t,QC=6+t
四边形PQCM为平行四边形,PM=QC,12-3t=6+t,t=1.5
PB=2.5*1.5=15/4,过P作PF垂直BC于F,PF/AD=PB/AB,PF=3
BF=√BP²-PF²=9/4,CF=BC-BF=12-9/4=39/4,
PC=√PF²+CF²=√1665/16=3√185/4c
(2)不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上
若存在,过P分别作PH垂直BC于H,PR垂直AC于R,PH=PR,
因S⊿ABC=S⊿PBC+S⊿PAC,即12PH+10PH=8*12,PH=48/11
PH/AD=BP/AB,BP=60/11, (10-60/11)/10=PM/12 ,PM=60/11 , 6+t=60/11,t=-4/11
所以,不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上
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∵AB=AC=10,D为BC中点,∴AD⊥BC,BD=CD=6,∴AD=8,
⑴BP=2t,BQ=6-t,
由相似得:BP/BQ=BD/AB=4/5,
∴10t=24-4t,t=12/7。
⑵①当四边形PQCM是平行四边形时,PQ∥AC,∴ΔPBQ∽ΔABC,
PB/BQ=AB/BC=5/6,
∴5/2t*6=5*(6-t),t=3/2,PQ=PB=5/2*3/2=15/4。
②当P在∠ACB的平分线上时,BP/AP=BC/AC=6/5,
(三角形角平分线定理:角平分线分对边的比等于夹这个角两边的比),
∵PQ∥AC,∴CQ/BQ=AP/BP=5/6,
∴Q在CD上,这是不可能的,
∴不存在a,使P在∠ACB的角平分线上。
⑴BP=2t,BQ=6-t,
由相似得:BP/BQ=BD/AB=4/5,
∴10t=24-4t,t=12/7。
⑵①当四边形PQCM是平行四边形时,PQ∥AC,∴ΔPBQ∽ΔABC,
PB/BQ=AB/BC=5/6,
∴5/2t*6=5*(6-t),t=3/2,PQ=PB=5/2*3/2=15/4。
②当P在∠ACB的平分线上时,BP/AP=BC/AC=6/5,
(三角形角平分线定理:角平分线分对边的比等于夹这个角两边的比),
∵PQ∥AC,∴CQ/BQ=AP/BP=5/6,
∴Q在CD上,这是不可能的,
∴不存在a,使P在∠ACB的角平分线上。
参考资料: 百度知道
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(1)由于△ABC是等腰△,所以底边BC上的中线AD为底边上的高,sinB=AD/AB=4/5,
①y=1/2*BQ*BP*sinB=1/2*(6-t)*2t*4/5(0<t<6)
②存在,y=4/5(6t-t2)=4/5[-(t-3)2+9],t=3时,y最大为36/5
(2)由于PQCM为平行四边形,所以PQ平行于MC,BP/BA=BQ/BC=PQ/AC,
2.5t/10=(6-t)/12,t=1.5,PQ=AC*0.375=3.75
①y=1/2*BQ*BP*sinB=1/2*(6-t)*2t*4/5(0<t<6)
②存在,y=4/5(6t-t2)=4/5[-(t-3)2+9],t=3时,y最大为36/5
(2)由于PQCM为平行四边形,所以PQ平行于MC,BP/BA=BQ/BC=PQ/AC,
2.5t/10=(6-t)/12,t=1.5,PQ=AC*0.375=3.75
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