Question

方程组2x+y=z-1, ① 的正整数解(x,y,z)是 8x立方+y立方=z平方-1②

Answer 1

所有整数解为（1，0，3），（1，3，6），（0，-1，0），（0，2，3）和所有类似（n，-2n，1）形式的无穷多组。

方程组 2x+y=z-1 ①，8x³+y³=z²-1 ②

根据①，可得 2x+y+2=z+1

所以z²-1=(z-1)(z+1)=(2x+y)(2x+y+2)

而8x³+y³=(2x+y)(4x²+y²-2xy)

所以(2x+y)(4x²+y²-2xy)=(2x+y)(2x+y+2)

即(2x+y)(4x²+y²-2xy-2x-y-2)=0。

（1）若2x+y=0，则代入①，得z=1，确实也满足②，所以有无穷多组（n，-2n，1）（n为整数），经验证符合条件。

（2）若2x+y‡0，则必须4x²+y²-2xy-2x-y-2=0，

消去xy交叉项，得3x²+(x-y)²-3x+(x-y)=2，

乘以4，得3(4x²-4x)+4(x-y)²+4(x-y)=8，

加4后配方，得3(2x-1)²+(2x-2y+1)²=12。

因为2x-1和2x-2y+1都是奇数，所以只能是3×1²+3²=12。

考虑到正负号的组合，共计如下四种情况：

2x-1=1，2x-2y+1=3，得（x，y，z）=（1，0，3），经验证符合条件。
2x-1=1，2x-2y+1=-3，得（x，y，z）=（1，3，6），经验证符合条件。

2x-1=-1，2x-2y+1=3，得（x，y，z）=（0，-1，0），经验证符合条件。

2x-1=-1，2x-2y+1=-3，得（x，y，z）=（0，2，3），经验证符合条件。

综上所述，我们已经无遗漏地求出了所有满足方程组的整数解，收工。

Answer 2

是求方程组 2x+y=z-1，8x³+y³=z²-1 的整数解吧？
根据①，可得 2x+y+2=z+1
所以
z²-1=(z-1)(z+1)=(2x+y)(2x+y+2)
而
8x³+y³=(2x+y)(4x²+y²-2xy)
所以
(2x+y)(4x²+y²-2xy)=(2x+y)(2x+y+2)
即
(2x+y)(4x²+y²-2xy-2x-y-2)=0

追问

是的。

追答

不好意思，接下来要想一想，现在还没找到思路