Question

已知椭圆C的一个焦点F1(0,-1),对应的准线方程为y=-2且一个顶点的坐标为(0,根号2)

（1）求椭圆方程。【已解出椭圆方程为(y^2/2)+x^2=1】
(2)直线l：y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB。（O为原点坐标）当实数k变化时，求点P的轨迹方程
（第一题我已算出，只求第二题，过程请详细）

Answer 1

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)
由向量的平行四边形法则：OP=OA+OB（全是向量）
即：x0=x1+x2，y0=y1+y2
A,B在直线y=kx+1上，则：y1=kx1+1，y2=kx2+1
所以：y1+y2=k(x1+x2)+2
所以：x0=x1+x2，y0=k(x1+x2)+2
把y=kx+1代入椭圆得：(kx+1)²/2+x²=1
整理得：(k²+2)x²+2kx-1=0
由韦达定理：x1+x2=-2k/(k²+2)
所以，x0=-2k/(k²+2)，y0=-2k²/(k²+2)+2
（求P的轨迹方程要想办法消去参数k，这个工作比较难一点，或者说技巧比较重要）
y0-2=-2k²/(k²+2)
x0=-2k/(k²+2)
两式相比得：(y0-2)/x0=k
把k=(y0-2)/x0代入x0=-2k/(k²+2)得：
x0=-2[(y0-2)/x0]/[(y0-2)²/x0²+2]
整理得：2x0²+y0²-2y0=0
所以，点P的轨迹方程为：2x²+y²-2y=0

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O