Question

在△ABC中，角A，B，C分别是边a，b，c的对角，且3a=2b。①若B=60°，sinC值为②若

在△ABC中，角A，B，C分别是边a，b，c的对角，且3a=2b。①若B=60°，sinC值为②若cosC=2/3，sin(A-B)的值为

Answer 1

①根据正弦定理：
a/sinA等于b/sinB
a/sinA等于b/sin60º
∴sinA等于asin60º/b
等于[(2b/3)•(√3/2)]/b
等于√3/3
则cosA等于±√1 - sin²A
等于±(√6)/3
∵sinA等于(√3)/3>1/2
∴A>π/6或3π/4<A<5π/6
∵B等于60º
∴cosA等于(√6)/3
则sinC等于sin[π - (A+B)]
等于sin(A+B)
等于sinAcosB + cosAsinB
等于(√3)/3 • 1/2 + (√6)/3 • (√3)/2
等于(√3)/6 + (3√2)/6
等于(√3 + 3√2)/6

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②c²等于a²+b²-2abcosC
等于(2b/3)²+b²-2•(2b/3)b•(2/3)
等于4b²/9 + b² - 8b²/9
等于5b²/9
则c等于(√5)b/3
∴cosA等于(b²+c²-a²)/2bc
等于[b²+(5b²/9)-(2b/3)²]/2b•(√5b/3)
等于(√5)/3
则sinA等于√1 - cos²A
等于2/3
根据正弦定理，有：
3sinA等于2sinB
3•(2/3)等于2sinB
∴sinB等于1
则cosB等于√1 - sin²B
等于0
∴sin(A-B)等于sinAcosB - cosAsinB
等于2/3 • 0 - (√5)/3 • 1
等于-(√5)/3

Answer 2

3a=2b。
a/b=2/3
a/b=sinA/sinB=2/3
sinA=2sinB/3=(2*√3/2)/3=√3/3<√3/2
A为锐角
cosA=√6/3,sinA=√3/3 ,sinB=√3/2,cosB=1/2
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√3/3*1/2+√6/3*√3/2=(3√2+√3)/6
sinC=(3√2+√3)/6
2)cosC=2/3，sinC=√5/3
sinC=sin(A+B)
由万能公式得:
sin(A+B)=2*tan(A+B)/2/[1+(tan(A+B)/2)^2]=√5/3
√5(tan(A+B)/2)^2-6tan(A+B)/2+√5=0
[√5(tan(A+B)/2)-1][tan(A+B)/2-√5]=0
tan(A+B)/2=√5/5 或 tan(A+B)/2=√5
又a/b=sinA/sinB=2/3
3sinA=2sinB
3sin[(A+B)/2+(A-B)/2]=2sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
3sin(A+B)/2cos(A-B)/2+3cos(A+B)/2sin(A-B)/2=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2
-2cos(A+B)/2sin(A-B)/2
sin(A+B)/2cos(A-B)/2=-5cos(A+B)/2sin(A-B)/2
sin(A+B)/2/cos(A+B)/2=-5sin(A-B)/2/cos(A+B)
tan(A+B)/2=-5tan(A-B)/2
tan(A-B)/2=-√5/5 或 tan(A-B)/2=-√5/25
由万能公式得:
sin(A-B)=2*tan(A-B)/2/[1+(tan(A-B)/2)^2]
=-2*√5/5 /[1+1/5]
=-√5/3 或 -5√5/126
sin(A-B)=-√5/3 或 -5√5/126

Answer 3

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