Question

如图，已知△ABC中，∠A=60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB,P为BE、CD的交点。 求证：AD+AE=根号三倍AP

PF是辅助线，不用管它，当它不存在。求解！！！

Answer 1

在BC上截取BF=BD，连接PF，易证明三角形BDP≌BFP；CEP≌CFP从而得到DP=EP；过P作PM⊥AB；PN⊥AC；证明DPM≌EPN得到DM=EN，从而得到AD+AE=2AM=2AN，再在直角三角形中用30°角即得到结论。

Answer 2

证明ABE+ACD=1/2(ABC+ACB)=60
DPE=ACD+PEC=ACD+ABE+A=60+60=120 EPC=60
最好不要截取CF=CE因为BC和EC大小未知，做CPF=60度（显然F在BC上）
易证CEP全等CFP 得EPC=FPC=DPB=BPF=60 EC=FC
DBP=PBF BP=BP DPB=BPF=60所以BDP全等BFP BD=BF
故BD+CE=BC
1.连接EF易证EF垂直PC PEF=PFE=180-90-60=30
DP=EP=FP DPE=DPF=EPF=120
所以 DPE全等DPF全等EPF 得DE=DF=EF△DEF为等边三角形；
2.P到AB,AC ,BC距离相等 BD+CE=BC
S△PBD+S△PCE=S△PBC

追问

求证：AD+AE=根号三倍AP

大哥，看清楚问题，能搜到我还提什么问呢

追答

由题意ABC为等腰直角三角形，又CD、AE分别平分∠ACB、∠BAC,所以 ∠ABE=∠ACF, ∠BAE=∠CAF所以 △ABE∽△ACF AE：AF = AB:AC = √2

追问

ABC为。。。等腰直角三角形......大哥，我。。。。。。无语了

追答

证明ABE+ACD=1/2(ABC+ACB)=60
DPE=ACD+PEC=ACD+ABE+A=60+60=120 EPC=60
最好不要截取CF=CE因为BC和EC大小未知，做CPF=60度（显然F在BC上）
易证CEP全等CFP 得EPC=FPC=DPB=BPF=60 EC=FC
DBP=PBF BP=BP DPB=BPF=60所以BDP全等BFP BD=BF
故BD+CE=BC
1.连接EF易证EF垂直PC PEF=PFE=180-90-60=30
DP=EP=FP DPE=DPF=EPF=120
所以 DPE全等DPF全等EPF 得DE=DF=EF△DEF为等边三角形；
2.P到AB,AC ,BC距离相等 BD+CE=BC
S△PBD+S△PCE=S△PBC