Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

Answer 1

(2)因为兄答<BQD=30，哪散<ABC=60
所以<QDB=<ADP=30
因为<A=60，PE垂直AB
所以<PEA=<PED=90
<APE=30，羡缓慧<APD=90
因为AP=2
所以AE=1，AD=4
DE=4-1=3

Answer 2

解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°。
　　∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。
　　设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。
　　∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2。
　　∴当∠BQD=30°时，AP=2。
　　（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：
　　作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。
　　∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。
　　∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ。
　　∵△ABC是等边三角形，∴册型∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。
　　∴在△APE和△BQF中，
　　∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。
　　∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四边形PEQF是平行四边形。
　　∴DE=EF。
　　∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB。
　　又羡孝∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3。
　　∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
　　【考点】动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。
　　【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可。
　　（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出兄姿稿DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。