Question

一道初二几何题

5、已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，D是AB边中点，将一块直角三角板的直角顶点放在D点旋转，直角的两边分别与边AC,BC交于E,F。
①设AE=x,BF=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域。

Answer 1

解：在已知△ABC中，因为其三条边符合勾股定理，所以△ABC为直角三角形。
过E、F 作AB的垂线，垂足分别为G、H。
三角形ABC相似AEG、BFH
得：EG=X*(3/5) GD=5-(4/5)X
FH=(4/5)Y HD=5-(3/5)Y
由△DEG相似FDH (证明比较方便，略）
EG:DH=GD:FH
(3/5)X:[5-(3/5)Y]=[5-(4/5)X]:[(4/5)Y]
Y=(25-4X)/3
定义域为:X[7/4,25/4]
分析：如果要更加详细的过程，我可以发给你。

Answer 2

∵已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，D是AB边中点
∴∠ACB=90°,AD=BD=CD=5
∴CE²+CF²=EF²
∵AE=x,BF=y,BC=6，AC=8
∴(8-x)²+(6-y)²=EF²
∵将一块直角三角板的直角顶点放在D点旋转，直角的两边分别与边AC,BC交于E,F。
∴∠EDF=90°,
过B点作BG//AC交ED的延长线于点G，则有△ADE≌△BDG
∴BG=AE=x，FD垂直平分EG，∠ABG=∠BAC
∴EF=FG
∵∠CBG=∠CBA+∠ABG=∠CBA+∠BAC=90°
∴BG²+BF²=FG²=EF²
即x²+y²=EF²
∴(8-x)²+(6-y)²=x²+y²
整理得4x+3y-25=0
所以y与x的函数关系式为y=-4x/3+25/3，定义域为0＜x＜8

Answer 3

解：延长FD使DG=FD，连接EF,EG, AG
因为AB=10
BC=6
AC=8
6^2+8^2=10^2
所以AB^2=AC^2+BC^2
所以角C=90度
所以角BAC+角ABC=90度
因为点D是AB的中点
所以AD=BD
因为角ADG=角BDF
所以三角形ADG和三角形BDF全等（SAS)
所以AG=BF
角DAG=角ABC
所以角EAG=角BAC+角DAG=90度
所以EG^2=AE^2+AG^2
因为AE=x
BF=y
所以ae^2+ag^2=x^2+y^2
因为角EDF=角EDG=90度
DF=DG
DE=DE
所以三角形EDG和三角形EDF全等（SAS)
所以EF=EG
在直角三角形ECF中，由勾股定理得：
EF^2=EC^2+FC^2
因为EC=AC-AE=8-x
FC=BC-BF=6-y
所以x^2+y^2=(8-x)^2+(6-y)^2
64--16x+36-12y=0
y=-(4/3)x+25/3
定义域是：7/4<x<25/4

Answer 4

y=25/3-4/3 x，定义域为7/4<=x<=25/4。

下面是推导过程：

余弦定理，

ED²=AE²+AD²-2AE×AD×cosA=x²+25-2×5×x×4/5=x²-8x+25。

FD²=FB²+DB²-2FB×DB×cosB=y²+25-2×5×y×3/5=y²-6y+25。

因为EDF=90度，所以EF²=ED²+FD²=x²-6x+25+y²-8y+25=x²+y²-8x-6y+50。

用另外一种方法算EF²，显然CE=AC-AE=8-x，CF=BC-BF=6-y，

因为ECF=90度，所以EF²=CE²+CF²=(8-x)²+(6-y)²=x²-16x+y²-12y+100。

两者联立，得
x²+y²-8x-6y+50=x²-16x+y²-12y+100

得
8x+6y=50，即y=25/3-4/3 x。

因为0<=y<=6，所以7/4<=x<=25/4。

第一次把余弦定理的cos给算错了，汗。。。

Answer 5

AE=x  BE=yCE=AC-x=8-xBE^2=CE^2+CB^2=(8-x)^2-36y^2=(8-x)^2-36(8-x)^2- y^2=36定义域[0，8]   

望采纳