Question

已知函数f（x）满足f（1）=a且f（n+1）=﹛（f（n）-1）／f（n） f（n）＞1 ﹛2f（n）， f（n）≤9

已知函数f（x）满足f（1）=a且f（n+1）=﹛（f（n）-1）／f（n） f（n）＞1
﹛2f（n）， f（n）≤9
，若对任意的x∈N+,总有f（n+3）=f（n）成立，则a在﹙0，1]内的可能值有多少个？
求详细解答。

Answer 1

分析：欲求出对任意的n∈N*总有f（n+3）=f（n）成立时a在（0，1]内的可能值，只须考虑n=1时，使得方程f（4）=f（1）的a在（0，1]内的可能值即可．对a进行分类讨论，结合分段函数的解析式列出方程求解即可．
解答：解：∵0＜a≤1，∴f（2）=2f（1）=2a，
①当0＜a≤1/4时，0＜2a≤1/2，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此时f（4）=f（1）不成立；
②当1/4＜a≤1/2时，1/2＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=[f(3)-1]/f(3)=﹙4a-1﹚/4a，
此时f（4）=f（1）⇔﹙4a-1﹚/4a=a⇔a=1/2；
③当1/2＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=[f(2)-1]/f(2)=（2a-1)/2a≤1/2，
∴f（4）=2f（3）=（2a-1）/a，
此时f（4）=f（1）⇔（2a-1)/a=a⇔a=1；
综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，
则a在（0，1]内的可能值有两个．

点评：本小题主要考查分段函数、函数恒成立问题、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．

有疑问可以追问哦，。

Answer 2

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