Question

在图一至图三中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点,四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.

如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

Answer 1

(1)由正方形BCGF和DCGH得
∠CFG=∠CHG=45°,
∴CF=CH，∠AFCH=90°，
即FM=MH，FM⊥MH

（2）连结CM，AF，
∵CA=2BC=2CD=CE，AM=EM，
∴CM⊥AE，
∴∠AFC+∠AMC=180°，
∴点A、M、C、F共圆，
∴∠AMF=∠ACF=45°
同理∠EMH=45°,
∴∠FMH=90°
∵∠FAM=∠FAC+∠CAM=∠HEC+∠CEM=∠HEM，
AM=BM，
∴△AMF≌△BMH，
∴MF=MH，
∴△FHM是等腰直角三角形

（3）△FMH还是等腰直角三角形