Question

已知函数f(x)=x²-bx+c满足:f(1+x)=f(1-x)对一切实数x成立,且f(0)=3,试比较f(b^x)与f(c^x)的大小

Answer 1

f(1+x)=f(1-x)
(1+x)²-b(1+x)+c=(1-x)²-b(1-x)+c
整理，得
x(b-2)=0
x在实数范围内任意取值，要等式成立，只有b-2=0
b=2
f(0)=3，x=0 f(0)=3 代入f(x)=x²-bx+c，得c=3
f(b^x)-f(c^x)
=f(2^x)-f(3^x)
=(2^x)²-2×2^x +3-[(3^x)²-2×3^x +3]
=[(2^x)²-(3^x)²]-2(2^x-3^x)
=(2^x-3^x)(2^x+3^x)-2(2^x-3^x)
=(2^x -3^x)(2^x+3^x -2)
分类讨论：
(1)
x>0时，2^x<3^x 2^x-3^x<0，2^x>1 3^x>1 2^x+3^x -2>0
(2^x-3^x)(2^x+3^x -2)<0
f(b^x)<f(c^x)
(2)
x=0时，2^x=3^x=12^x-3^x=0
f(b^x)=f(c^x)
(3)
x<0时，2^x<3^x 2^x-3^x<0 2^x<1 3^x<1 2^x+3^x-2<0
f(b^x)>f(c^x)