Question

如图△ABC中，AB=BC=AC=3，O为它的内心，以O为中心将△ABC旋转180º得到△A′B′C

如图△ABC中，AB=BC=AC=3，O为它的内心，以O为中心将△ABC旋转180º得到△A′B′C′,则△ABC与△A′B′C′重叠部分面积

Answer 1

首先要明确，阴影部分是一个正六边形；
其次要知道，把现在的白色三角形往里折叠，刚好可以盖满阴影部分。
所以，2×阴影面积+6个白色三角形面积=2×△ABC面积
就是：3×阴影面积=2×△ABC面积=2×√3／4×3^2，（正三角形面积=√3／4×边长的平方）
所以，解得阴影面积为：3√3／2

注：我是“自助式立体几何万能学具”发明人和开发者，如果你对此有兴趣，百度一下

Answer 2

(3√3)/2
解：
∵△ABC为等边三角形，O为其内心
∴过A做BC边的高AD垂直点为D，则O在AD上且AO=2OD，OD=AD/3=AB*(√3/2)/3=√3/2
(这里如果要理由的话，可以说直线CO交AB于E，则△AEO全等于△CDO，
同时∠EAO=∠A/2=30°，于是AO=2EO=2DO）
然后很明显阴影部分为一个正六边形，同时AA',BB',CC'交于O。
于是令AB交A‘C’于F，BC交A‘C’于G，显而易见BFG为等边三角形，而OFG也是等边三角形
于是，S阴=6S△OFG=6* (√3/2)*[(√3/2)/√3]=(3√3)/2 ■

Answer 3

重叠部分是正六边形，其边长=AB/3=3/3=1
重叠部分面积=6*三角形面积=6*[(1*1*sin60)/2]=6*[(1*1*√3/2)/2]=(3√3)/2

Answer 4

阴影部分为正六边形，若将正六边形的对角线两两相连，就可以发现正六边形分成了6个全等的正三角形，且阴影部分的三角形与空白部分的三角形全等，所以阴影部分为1个大三角形的面积，已知三边为均3 所以一个大三角形面积为9√3／4