Question

高数定积分问题，求指教

Answer 1

做这种题的话，一般都要找另一个函数来对比，就像下面的过程：

( 有问题欢迎追问 @_@ )

Answer 2

这是反常积分的定义，不用证明的

追问

定义！能麻烦您写一下吗

追答

∫(0,+∞)f(x)dx收敛的充要条件是lim(A->+∞)∫(0,A)f(x)dx极限存在

追问

这个定义没有办法说明(arctant)∧2的极限不存在啊

追答

有很多判别法的
比如说比较判别法的极限形式

令f(x)=(arctanx)^2，g(x)=arctanx
因为lim(x->+∞)f(x)/g(x)=lim(x->+∞)arctanx=π/2∈(0,+∞)
且∫(0,+∞)g(x)dx=[xarctan-ln√(1+x^2)]|(0,+∞)
=lim(x->+∞)[xarctanx-ln√(1+x^2)]
令t=1/x
上式=lim(t->0)[arctan(1/t)-(t/2)*ln(1+1/t^2)]/t
=lim(t->0)[arccott-(t/2)*ln(1+t^2)+tlnt]/t
=lim(t->0)(π/2)/t
=+∞
所以∫(0,+∞)g(x)dx发散，即∫(0,+∞)f(x)dx也发散