Question

高中数学立体几何，球的计算

高中数学立体几何，球的计算如图，划线式子什么意思

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Answer 1

当注入水的体积达到大三棱锥体积的7/8时，顶端小三棱锥是没有注入水的空间。
假设没有水的小三棱锥棱长为x（当然也是正三棱锥，其四个棱长都相等）
由于大小两个三棱锥相似，而体积之比为1/8，注意到体积比与棱长是立方关系（大三棱锥棱长为已知的4，小三棱锥的棱长假设为x）

所以： （x / 4）^3 = 1/8
得到，小三棱锥的棱长为2，进一步有小三棱锥高为 2√6/3

另外，为了求出内切圆球的半径，构造如下体积关系（你红色标注部分的疑问）
小三棱锥体积＝四个由｛内切球中心｝与｛三棱锥的四个面｝构成的局部三棱锥（但不是正三棱锥）
｛1/3｝ * S底面积 * ｛小三棱锥的高 2√6/3｝ ＝ 4 * ｛1/3 * S底面积 * 小球半径r｝
上式中的底面积可以约去；1/3 也可以约去
小球半径r ＝ √6/6
小球的表面积＝4πr^2 = 2π/3

算作是评注吧：
1、你的红色标注部分：
右端是常规方法求取的小三棱锥体积；
左端的4是｛四个局部三棱锥，顶点在球心｝，
左端的｛√3 /4 * 2^2 ｝是｛某个局部三棱锥的底面积 ｝，
左端的 r 是｛某个局部三棱锥的高｝。
2、窃以为你提供的方法虽然全面，但并非简化方法，尤其是为了一道选择题不宜大张旗鼓.

补充：
当正三棱锥的棱长为a时,常用关系有：
三棱锥的高：√6a/3
表面积：√3a^2
体积：√2a^3/12

追问

非常感谢，那么请问有什么好的简化方法吗？