Question

如图,已知梯形ABCD中,AB平行CD,角ABC=90度,AB=8,CD=6

如图，已知梯形ABCD中，AB平行CD，角ABC=90度，AB=8，CD=6，在AB边上取动点P（点P不与点B重合），连结DP，作PE垂直DP，使PE交射线BC于点E，设AP=X，BE=Y。（1）若点E与点B重合，求AP的长；（2）若BC=4，试写出Y关于自变量X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（3）若BC=根号a,试问：在线段AB上能否找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得的点E都与点C重合，若存在，求a的取值范围，并用a表示相应的AO1，AP2的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）若E与B重合，则DP⊥AB，所以∠DPB=90，所以此时PB=DC=6，所以AP=AB-BP=8-6=2
（2）因为AP=x，所以PQ=x-2（AQ=2），证明△DQP全等于△PBE，所以DQ/PQ＝PB/BE，所以4/x-2=8-x/y 所以y=-1/4x²+5/2x-4
（3）若E能与C重合，则y=-1/4x²+5/2x-4=4，得x²+10x+32=0，因为（-10）²-4*32＜0，所以此方程无解，所以E不可能与C重合

Answer 2

如图，连接na、nd
已知m为ad中点，mn⊥ad
即，mn为线段ad的中垂线
则，na=nd
设bn=x，那么cn=8-x
由勾股定理得到：an²=9²+x²=x²+81；nd²=7²+(8-x)²=x²-16x+113
所以，x²+81=x²-16x+113
===>16x=32
===>x=2
即，bn=2