Question

已知函数f(x)=x/a-1/x(a为实常数)

1.解关于x的不等式f(x)>0
2.当a=2时，判断并证明函数f(x)的单调性，并求函数在[1,2]上的值域。
（这是高一第一学期期末试卷上的解答题第二题）
请各位高手帮帮小弟，感激不尽啊！！！谢谢！！！

Answer 1

（1）f(x)>0得到x/a-1/x>0，很显然x≠0
不等式左边通分得到(x²-a)/ax>0
上式等价于(x²-a)ax>0
分情况讨论，当a≤0时，x²-a>0，此时要求x<0
当a>0时，可以得到x∈(-√a，0)∪(√a，﹢∞)
(2)当a=2时，f(x)=x/2-1/x
由于x≠0，分x>0和x<0两边分别求解增减性，可以利用f(x1)-f(x2)进行求解，当然可以发现x/2和-1/x实际上在x>0和x<0两边分别都是递增的，因此f(x)=x/2-1/x在两个区间上分别为增函数。
求值域：f(1)=1/2-1=-1/2，f(2)=2/2-1/2=1/2
由于f(x)在[1,2]上为递增函数，因此在[1,2]上值域是[-1/2,1/2]
附：楼上的第一问当a<0时的解答有问题

Answer 2

1.f(x)=x/a-1/x=(x²-a)/(ax)
当a>0时，解集是{x|-√a<x<0或x>√a}；当a<0时，解集是{x|√(-a)<x<0或x>√(-a)}。

2.当a=2时，f(x)=x/2-1/x
当x>0时，x/2单调增加，-1/x单调增加，所以f(x)单调增加；
当x<0时，因为f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为R/{0}上奇函数，f(x)也是单调增加。
当x∈[1,2]时，f(1)=1/2-1=-1/2，f(2)=2/2-1/2=1/2
故，f(x)的值域是[-1/2,1/2]