已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使PA^2+PB^2+PC^2最小,求最小值.
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该点为三角形重心，对平面上任意点M，我们有等式MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3*MG^2，所以是重心。上式可用向量或余弦定理证明。
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设a、b、c三点的坐标分别为（0，0），（a，0），（a/2，√3a/2），
另设p（x，y)是平面上任一点，则
pa^2+pb^2+pc^2
=(x^2+y^2)+[(x-a)^2+y^2]+[(x-a/2)^2+(y-√3a/2)^2]
=3x^2+3y^2-3ax-√3ay+2a^2
=3[(x-a/2)^2+(y-√3a/6)^2]+a^2
可知，当x=a/2，y=√3a/6时（即p为正三角形中心），所求值最小，最小值为
a^2.
另设p（x，y)是平面上任一点，则
pa^2+pb^2+pc^2
=(x^2+y^2)+[(x-a)^2+y^2]+[(x-a/2)^2+(y-√3a/2)^2]
=3x^2+3y^2-3ax-√3ay+2a^2
=3[(x-a/2)^2+(y-√3a/6)^2]+a^2
可知，当x=a/2，y=√3a/6时（即p为正三角形中心），所求值最小，最小值为
a^2.
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