Question

拉格朗日中值定理的条件中：①在闭区间[a，b]上连续②在开区间(a，b)内可导。那么…。 此处将①

拉格朗日中值定理的条件中：①在闭区间[a，b]上连续②在开区间(a，b)内可导。那么…。
此处将①条件去掉。将②条件改成在闭区间[a，b]上可导。因为可导一定连续。所以只有“在闭区间[a，b]上可导"这一条件是否也能使拉格朗日中值定理成立？历代数学家为什么不再对该定理的条件作进一步精简？若依我所改，不能使拉格朗日定理成立，则为什么？不是有可导一定连续了吗？

Answer 1

在拉格朗日中值定理中，有两个要求条件，一个是在一个闭区间内连续，一个是在相同期间开区间可导，不满足这两个条件，拉格朗日中值定理在此种情况下是没有意义的。
例2：函数，这个函数的区间[0,2]。
可以看出这个函数在区间[0,2]上是不连续的，这个值是不存在的，因此这个函数在此区间上面是不连续的。
这个函数在此闭区间[0,2]上是不可导的，根据可导函数的计算方法可以得到

又，这种情况下x的值是不存在的，所以这个函数在此区间内是不可导的。
二 拉格朗日中值定理的证明
在微积分相关知识的教材上面，一般情况下在证明拉格朗日中值定理时，经
常采用罗尔定理来证明，证明过程中根据题意构建出一个辅助函数来证明定理。
在历史长河中，学者们在对拉格朗日中值定理进行证明的时候最主要的的有四种方法。最开始的一种证明方法出现在著作名为《解析函数论》一书中。这个证明相对来说是比较直观的，它是以这样一个概念为基础证明的：当导数>0时，在一个固定区间内就是单调递增的；反之，则单调递减。利用微积分中的求导方法去确定一个函数的单调区间的方法。并且，此时对拉格朗日定理应用要求在一个闭区间中是连续的，也要求在此相同闭区间可导。假设一个变量在区间内连续的变化，那么这个变量相应的函数也会随着变化的变化而发生变化，有无数的中间值在两个值之间。
在19世纪初时，微积分发生了很大的变化，柯西等数学家在此做出了很大的贡献，人们对函数进行了很严格的定义，极限、连续和导数。在此基础上又给拉格朗日中值定理提出了新的严谨的证明。在19世纪初，学者们对于微分学的系统性定理的详细研究就拉开了序幕。因为拉格朗日中值定理在微分学中有着相当重要的地位，所以，历来学者们都对拉格朗日中值定理的研究十分重视，学者们对拉格朗日中值定理的相关研究也是非常多的。比如在历史上，许多学者都提出了对于拉格朗日中值定理的证明的方法。在历史长河中，学者们提出的关于拉格朗日中值定理的证明方式主要有四种方式。第一种方式，通过利用罗尔定理去构建一个中间函数去证明。第二种方式，根据先决条件，去建立一个相对更加广泛的中值定理，然后在缩小范围去证明。第三种形式，是充分利用积分和在证明过程中不会导致循环去证明一个知识点的其他的微积分定理去证明拉格朗日中值定理。第四种形式时，充分利用拉格朗日中值定理中所限制的区间，然后采用属于实数方面的区间套理论去证明。