Question

如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且

在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点且弧BC=弧CD。弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

Answer 1

（1）OB=BP．
理由：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠P=30°，
在Rt△OCP中，OC=1/2OP=OB=BP
（2）由（1）得OB=1/2OP
∵⊙O的半径是2，

∴AP=3OB=3×2=6，
∵弧BC=弧CD
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠BAD=60°，
∵∠P=30°，
∴∠E=90°，
在Rt△AEP中，AE=1/2AP=3

Answer 2

解：（1）连接CO
因为AO=CO，且∠CAB=30°
所以∠COB=60°
易证△COB为等边三角形，则∠CBO=60°=∠BCP+∠CPB
又因为OC⊥EP、AC⊥CB
所以∠ACO+∠OCB=∠OCB+∠BCP=90°
所以∠ACO=∠BCP=30°=∠CPB
则OB=BC=BP
(2)在△AEP中AP=6，∠EPA=30
所以AE=3

Answer 3

联接oc,不难看出△ocp是直角△,且∠p=30°,所以有OB=BP,
AB为直径,弧BC=弧CD,有∠EAP=∠ABC=60°,△EAP是直角△,AE=AP/2=3