Question

已知α∈（0，π/2）,x∈R,函数f(x)=sin2(x+a)+sin2(x-a)-sin2x.（式中的2都是表示二次方）（1）求函数

已知α∈（0，π/2）,x∈R,函数f(x)=sin^2(x+a)+sin^2(x-a)-sin^2x.（式中的2都是表示二次方）
（1）求函数f(x)的奇偶性；
(2)是否存在常数α，使得对任意实数x，f(x)=f(π/2-x)恒成立；如果存在，求出所有这样的α；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

f(x)=sin^2(x+a)+sin^2(x-a)-sin^2x
＝1/2[1-cos2(x+a)]+1/2[1-cos2(x-a)]-1/2(1-cos2x)
=1/2-1/2cos2(x+a)-1/2cos2(x-a)+1/2cos2x
=1/2-1/2cos2xcos2a+1/2sin2xsin2a-1/2cos2xcos2a-1/2sin2xsin2a+1/2cos2x
=1/2-cos2xcos2a+1/2cos2x
f(-x)=1/2-cos2(-x)cos2a+1/2cos2(-x)=1/2-cos2xcos2a+1/2cos2x=f(x)
f(x)是偶函数
f(x)=f(π/2-x)
f(π/2-x)=1/2-cos2(π/2-x)cos2a+1/2cos2(π/2-x)
=1/2-cos(π-2x)cos2a+1/2cos(π-2x)
=1/2+cos2xcos2a-1/2cos2x
f(x)=f(π/2-x)
1/2-cos2xcos2a+1/2cos2x=1/2+cos2xcos2a-1/2cos2x
2cos2xcos2a-cos2x=0
cos2x(2cos2a-1)=0,任意实数x
2cos2a-1=0
cos2a＝1/2
2a=π/3,α∈（0，π/2）,
a=π/6