Question

平面直角坐标系中的动点问题最短距离问题。求解答，越快越好，谢谢。

在平面直角坐标系中，已知△OAB的三个顶点分别为O(0.0),A(8,6),B(0，6).点P从点O出发，在O、A之间作往返运动，速度为每秒2个单位；点Q从O点出发，在边OB、BA上沿着O到B到A的方向运动，速度为每秒1个单位，当点Q到达终点A时，点P也停止运动.若P、Q两点同时出发，运动的时间时t秒.
（1）若Q在BA上运动，求当AQ＝AP时t的值.
（2）过点P作PC⊥AB于C，PD⊥OB于D，设CD的中点为M，连结BM.求BM取得最小值时t的值.

Answer 1

1、以下均为无方向的线段，

根据勾股定理，

OA=√（8^2+6^2)=10,

P从O出发至A用时为10/2=5秒，

Q从O至B用时为6/1=6秒，

当Q到达B时，P已返回2单位，至E点，AE=2，

设从B开始至AQ=AP的时间为t1,BA=8，

8-t1=2+2t1,

3t1=6,

t1=2秒，

AP=2+2*2=6，

AQ=8-2*1=6，

∴AP=AQ，

∴从出发至AP=AQ的时间为6+2=8秒。

2、DM是RT△DCB斜边上的中线，

∴DM=DC/2，（RT△斜边上的中线等于斜边的一半），

要求DM的最小值，只要求DC的最小值即可，

∵四边形BDPC是矩形，

∴BM=MP，

OA的方程为：y=3x/4,

设动点P坐标为（x,3x/4),

DC^2=PD^2+PC^2=x^2+(6-3x/4)^2

=25x^2/16-9x+36

=25(x-72/25)^2/16+576/25,

∴当x=72/25时，DC^2有最小值为576/25,

∴DC=24/5，

∴BM=DC/2=12/5，

y=(72/25)*3/4=54/25,

OP=√[x^2+(3x/4)^2]=5x/4=(72/25)*5/4=18/5,

AP=10-18/5=32/5，

∴t=(18/5)/2=9/5.

Q从O至A共6+8=14，共计时14秒，而P从O至A一次5秒，从A返回O用5秒，当第14秒时，OP=2*4=8，

∴第一次为9/5秒，

返回时，5+（32/5）/2=5+16/5=41/5，

第二次为10+9/5=59/5<14,

∴P出发后共有3次，1、t=9/5秒，2、t=41/5秒,3、t=59/5秒,此时BM取得最小值，为12/5。

Answer 2

郭敦顒回答：
在Rt⊿OAB中，AB=8，OB=6，OA=10
（1）若Q在BA上运动，求当AQ＝AP时t的值，则有方程：
10－2t=6－t，∴t=4，检验：AQ=6－1×4=2，AQ=10－2×4=2，AQ=AP
（2）过点P作PC⊥AB于C，PD⊥OB于D，设CD的中点为M，连结BM.求BM取得最小值时t的值.
当PC= PD时BM有最小值设PC=PD=x，则
x²+（6－x）x/2+（8－x）x/2=6×8/2，
化简得，7x=24，x=24/7=3.2857
BM=0.7071×3.2857=2.4243。
Y

B（0，6） C A（8，6）

M

D P

O（0，0） X

Answer 3

解：（1）t在0-6s时间段内，Q未运动到BA上，所以无t满足。
t在6-10s时间段内，AQ=8-（t-6）*1 （1） AP=2+(t-6)*2 (2）
将 （1） ， (2）带入AQ= AP，得t=19/3s （符合题意）
t在10-14s时间段内，AQ=14-t （3） AP=10-(t-10）*2 （4）
将 （3） ， (4）带入AQ= AP，得t=16s （不符合题意，舍去）

（2）由题意知，当BM最小时，BP也达到最小，即此时BP⊥OA于P
易得，此时OP为3.6（由相似三角形或勾股定理计算得）
t在0-5s时间段内,2t=3.6 得t=1.8s
t在5-10s时间段内，（t-5）*2=10-3.6 得t=8.2s
t在10-14s时间段内，（t-10）*2=3.6 得t=11.8s
不懂再问，过程就是这样的，计算你可以再算算！希望你可以明白。。。