Question

已知数列{an}：an≥0,a1=0,an＋1^2＋an＋1-1=an^2（n∈N^＊） 求证an<an+1

Answer 1

解：先证明an<1，用数学归纳法
当n=1时 a2^2 + a2 - 1 = 0 a2<1 解方程 a2>1/2
假设n = k 时， ak < 1成立
当n = k+1 时 ak+1^2 + ak+1 - 1 = ak^2
ak+1^2 + ak+1 =ak^2+1

又ak＜1
∴ak^2+1＜2
∴ ak+1^2 + ak+1＜2
解个不等式ak+1^2 + ak+1-2<0
-2<ak+1<1又an≥0
∴ ak+1 < 1
所以 an<1
an+1^2+an+1-1=an^2 即(an+1 - an)(an+1 + an) + an+1 - 1 = 0
∴(an+1 - an)(an+1 + an) =1-an+1＞0
又an+1 + an> 0 ∴an+1 - an> 0
∴ an<an+1。