Question

设f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+2ax 当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-16/3,求f(x)在该区间的最大值

拜托各位了

Answer 1

解：(1)、 函数f(x)=(1/3)x³ (1/2)x² 2ax. 求导，f'(x)=x² x 2a. 由题设可知： 关于x的不等式x² x 2a≥0. 其解集M与区间(2/3, ∞)的交集非空。 或者说，不等式2a≥-(x² x) 必有解在区间(2/3, ∞)内。 ∴问题可化为，求函数g(x)=-x²-x在(2/3, ∞)上的最大值（或上确界）。 显然，在(2/3, ∞)上，恒有：g(x)＜g(2/3 )=-10/9. ∴应有：2a≥-10/9 ∴a≥-5/9 (2)、 f'(x)=-x^2 x 2a=-(x-1/2)^2 2a 1/4 当0<a<2时，f(x)在[1,4]上先增后减 所以f(x)在[1,4]上的最小值=min{f(1),f(4)} =min{2a-1/6,8a-40/3}=8a-40/3=-16/3， a=1 f(x)在该区间上的最大值=f(2)=10/3

Answer 2

f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+2ax
f'(x)=-x²+x+2a
令f'(x)=0
x=[-1±√(1+8a)]/2
当x>[-1+√(1+8a)]/2 f'(x)<0 单调减
当[-1-√(1+8a)]/2<x<[-1+√(1+8a)]/2 f'(x)>0 单调增
当x<[-1-√(1+8a)]/2 f'(x)<0 单调减
根据题意，-1+√(1+8a)]/2=1
得 1+8a=16
a=15/8
f(x)在该区间的最大值时 x=1 即f(1)=-1/3+1/2+2*15/8
=47/12

追问

额 可是答案是3分之10额

Answer 3