Question

已知f(x)=a(x-1)/x²，其中a>0.设g(x)=xlnx-x²f(x),求g(x)在区间[1，e]上的最小值？？？?

Answer 1

g(x)=xlnx-x²f(x)=xlnx-a(x-1)，
g‘(x)=lnx+1-a。
当a≥2时，在[1，e]上恒有g‘(x)≤0，所以g(x)在区间[1，e]上单调递减，最小值为g(e)=e-a(e-1)；
当0<a≤1时，在[1，e]上恒有g‘(x)≥0，所以g(x)在区间[1，e]上单调递增，最小值为g(1)=0；
当1<a<2时，令g‘(x)=0得x=e^(a-1)，可知g(x)在区间[1，e^(a-1)]上单调递减，在区间[e^(a-1)，e]上单调递增，最小值为g(e^(a-1))= (a-1)e^(a-1)-a[e^(a-1)-1]。