Question

函数f(x)=x^2+bln(x+1)-2x,b∈R (1)设g(x)=f(x)+2x,若b>=2,求证

对任意x1,x2∈（-1，正无穷），且x1>=x2,都有g(x1)-g(x2)>=2(x1-x2)

Answer 1

g(x)=f(x)+2x=x²+bln(x+1)，
因为 b≥2
g'(x)=2x+b/(x+1)≥2x+2/(x+1)=2(x+1)+2/(x+1) -2≥2√[2(x+1)·2/(x+1)] -2=2
即对于 x∈(-1，+∞)，有g'(x)≥2
所以 g(x)在定义域(-1，+∞)上是增函数，
从而当x1>x2时，经过两点(x1,g(x1))，(x2,g(x2))的割线的斜率大于g(x)在x2处的切线的斜率，
即 [g(x1)-g(x2)]/(x1-x2)>g'(x2)≥2，
所以 g(x1)-g(x2)>2(x1-x2)
当x1=x2时，原不等式取等号，从而当 x1≥x2时，有 g(x1)-g(x2)≥2(x1-x2)

Answer 2

g(x)=f(x)+2x=x²+bln(x+1)，
因为 b≥2
g'(x)=2x+b/(x+1)≥2x+2/(x+1)=2(x+1)+2/(x+1) -2≥2√[2(x+1)·2/(x+1)] -2=2
即对于 x∈(-1，+∞)，有g'(x)≥2
所以 g(x)在定义域(-1，+∞)上是增函数，
从而当x1>x2时，经过两点(x1,g(x1))，(x2,g(x2))的割线的斜率大于g(x)在x2处的切线的斜率，
即 [g(x1)-g(x2)]/(x1-x2)>g'(x2)≥2，
所以 g(x1)-g(x2)>2(x1-x2)
当x1=x2时，原不等式取等号，从而当 x1≥x2时，有 g(x1)-g(x2)≥2(x1-x2)