Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，

∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（1）求证：BC⊥PC；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

解：
（I）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且 AC=2根号2．
取AB的中点E，连接CE，
由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2，
又 BE=1/2
AB=2，所以 CE=1/2AB，
则△ABC为等腰直角三角形，
所以AC⊥BC，
又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC⊂平面ABCD，由三垂线定理得，BC⊥PC
（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC，BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC，
过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，
则AF的长即为点A到平面PBC的距离，
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2根号2，PC=2根号3，
所以 AF=2根号6/3
即点A到平面PBC的距离为 2根号6/3

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