Question

设函数f(x)=（x+1)ln(x+1),若对所有的x大于等于0，都有f(x)大于等于ax成立，求实数a的取值范围。

分离参数后用洛必达法则求解，求洛必达法则求解过程（运用洛必达法则求解过程详细点） 不要其他方法，其他方法会了。

Answer 1

解：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．
本质是函数的最值问题．函数是统帅！统帅方程与不等式．形成模式，简缩思维．比如，含参数的不等式恒成立，求参数范围的方法．

Answer 2

　　用洛必达法则可以求函数最小值吗？好像洛必达法则是用来求未定式极限的吧！你说的是利用求导的法方求函数最小值吧，但是，如果分离参数后求导必然会带来越求越麻烦的问题，而且始终是带有ln(x+1)项的，即所谓超越方程和超越不等式，根本无法解出来。
鉴于以上分析，也只能用其他方法了，根据你说的相信你会了，对吧，呵！