Question

函数f(x)的定义域为(0,正无穷),并满足以下条件：

（1）对任何意的x>0,y>0,有f(xy)=f(x)+f(y)
（2）x>1时,f(x)>0

问题：
1.求f（1）的值
2.求证：f（x）在（0，正无穷）上是单调增函数
3.若x满足f（1/2）小于等于f（x）小于等于f（2），求函数y=2x+1/x的最大、最小值

Answer 1

(1)
f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1代入得
f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
令x=1/y代入得
f(1)=f(x)+f(1/x)
所以
f(x)=-f(1/x)
(2)
令x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)>f(1)>0
因此函数单增
(3)
f（1/2）≤f（x）≤f（2）
1/2≤x≤2
y=2x+1/x≥2√2，当且仅当2x=1/x,x=√2/2时成立
因此，最小值x=√2/2时为2√2
x=1/2,y=2x+1/x=3
x=2,y=2x+1/x=4.5
因此x=2时最大值是4.5