Question

如图，AB是圆心O的直径。AC为弦，D是弧BC的中点，过点D做EF垂直AC的延长线于E，交Ac的延长线于E

交AB的延长线于点F（1)这个我懂……（2）若sin角F=1/3，AE=4.求○O的半径和AC的长。

Answer 1

半径r=3，AC=2
解：连接OD因为点D是弧BC的中点所以∠BOD等于∠BOC的1/2.又因为∠BAC也等于∠BOC的1/2所以∠BOD=∠BAC所以OD//AE，所以⊿FOD∽⊿FAE，且都为直角三角形，所以（FB+BO）：FA=OD：AE，OB=OD=r，因为AE=4，sin∠F=1/3，所以AF=12，所以BF=2r，所以AF=4r=12，所以r=3。
过点O做OG垂直AC于G，因为sin∠F=1/3，所以cos∠F=2√2/3，所以EF=8√2，因为OF=3r=9，所以FD=6√2，所以OG=DE=2√2，所以AG=1,（⊿AOG为直角三角形，勾股定理），所以AC=2.

Answer 2

解；（2）连接OD
因为EF为切线 所以OD⊥EF
过O点作OG垂直AE
则四边形ODEG为正方形（OG=OD）所以OD=EG=OA
又因为△AOG∽△AFG 所以AG：AO=1:3=AG：EG
因为AE=4 所以AO=3 AC=2（垂径定理）

追问

为什么三角形AOG会和三角形AFG相似啊。。想不明白哦

追答

修正一下：四边形ODEG为矩形，所以EG=DO=r 所以AG=4-EG=4-r 又因为△AOG∽△AFE
所以AG:AO=(4-r);r=1:3 所以 r=3 AC=2AG=2(4-r)=2 谢谢你的提醒