Question

已知各项均为正数的数列an 前N项和为Sn，首项为a1,且1/2,an,sn等差数列 求｛an｝通项公式

已知各项均为正数的数列an 前N项和为Sn，首项为a1,且1/2,an,sn等差数列 求｛an｝通项公式

Answer 1

解：
1/2，an，Sn成等差数列，则
2an=Sn +1/2
n=1时，2a1=a1+ 1/2
a1=1/2
n≥2时，
Sn=2an -1/2
S(n-1)=2a(n-1) -1/2
Sn-S(n-1)=an=2an -1/2 -2a(n-1)+1/2=2an -2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1/2为首项，2为公比的等比数列。
an=(1/2)×2^(n-1)=2^(n-2)
数列{an}的通项公式为an=2^(n-2)

2^(n-2)表示2的n-2次方。

Answer 2

由题意知2an=Sn+1/2 ，an＞0，
当n=1时，2a1=a1+1/2 ，解得a1=1/2 ，
当n≥2时，Sn=2an-1/2 ，S(n-1)=2a(n-1)-1/2 ，
两式相减得an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
整理得：an/a(n-1) =2
∴数列{an}是以1/2 为首项，2为公比的等比数列．
∴an=a1•2^(n-1)=1/2 ×2^(n-1)=2^(n-2)．

Answer 3

由1/2,a(n),S(n)成等差数列，得2a(n)=S(n)+1/2,故2a(n+1)=S(n+1)+1/2,两式相减得2a(n+1)-2a(n)=S(n+1)-S(n)=a(n+1),即a(n+1)=(2/3)a(n).从而{a(n)}是公比为2/3首项为a(1)的等比数列，故a(n)=a(1)*(2/3)^(n-1).

Answer 4

由题意 2an=Sn+1/2 Sn=2an-1/2 n=1时，S1=a1 a1=2a1-1/2 a1=1/2 S(n+1)-Sn=a(n+1) 2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1) a(n+1)=2an 因此{an}是等比数列，首项1/2，公比2 an=（1/2）*2^(n-1) =2^(n-2) Sn,an,1/2成等差数列 2an=1/2+Sn 2an-1=1/2+Sn-1 2a1＝1/2+S1＝1/2+a1 a1＝1/2 2an-2an-1=1/2+Sn-1/2-Sn-1=an an/an-1＝2 所以｛an｝是以a1＝1/2 q＝2的等比数列 an＝1/2×2^n＝2^(n-1) an^2=2^(-bn) 2^2（n-2)=2^(-bn) bn=4-2n cn=bn/an=(4-2n)/2^(n-2) 下面错位相减求和: 2cn=(4-2n)/2^(n-1） …… 2c1=（4-2*1）/2^0 Tn=（2c1+……+2cn）-（c1+……cn） =2*[1/2^0+1/2^1+……+1/2^(n-2)]+(4-2n)/2^(n-1)-(4-2*1)/2^(-1) =2*(1-1/2^(n-2))+(4-2n)/2^(n-1)-4 =(3-2n)/2^(n-1)-2