Question

如图在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上的中点,过D作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.若AE=4,FC=3时,求S△FDC

Answer 1

解：过点D作DG垂直BC于G，连接BD
所以DG是三角形DBC的高线
因为三角形ABC是等腰直角三角形
又因为点D是AC的中点
所以BD是等腰直角三角形ABC的中线，高线，角平分线
所以角DBE=角DBC=45度
BD=DC
角ADB=角BDC=90度
角C=45度
所以角DBE=角C=45度
因为DE垂直DF
所以角EDF=90度
因为角EDF+角ADE+角CDF=180度
所以角ADE+角CDF=90度
因为角ADB=角BDE+角ADE=90度
所以角BDE=角CDF
所以三角形BDE和三角形CDF全等（ASA)
所以BE=CF
因为CF=3 AE=4
AB=BE+AE
所以AB=BC=7
因为角DBC=角C=45度
所以DBC是等腰三角形
所以DG是等腰直角三角形DBC的中垂线
所以DG=1/2BC=7/2
所以三角形FDC=1/2(CF*DG=1/2*3*(7/2)=21/4=5.25

Answer 2

解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
又DE丄DF，
∴∠FDC=∠EDB，
∴△EDB≌△FDC，
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在直角三角形EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF的长为5

Answer 3

解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
又DE丄DF，
∴∠FDC=∠EDB，
∴△EDB≌△FDC，
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在直角三角形EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF的长为5．

追问

要求三角形FDC的面积

追答

BF=4 FC=3

S△FDC与S△FDB等高，S△FDC=3/4S△BDF

D为AC边上中点，△BDC=1/2△BAC

所以S△FDC=3/7S△BDC=3/14S△ABC=3/14×7×7/2=147/28

S△FDC=147/28

Answer 4

连接BD 作DG⊥BC，DH⊥AB
∵D为AC中点
∴BD平分∠ABC
∴DG=DH（角平分线上的点到角两边距离相等）
设DG长为x
楼上证出AB=BC=7
7x÷2（S△ABD） + 7x÷2（S△BDC） =7x7÷2（S△ABC）
解出得：x=3.5
∴DG=3.5
∴S△FDC=½CF×DG=½3×3.5=5.25

Answer 5

10.25(3*3.5*1/2=10.25)
过d做两条垂线。易证全等。之后高3.5就出来了