Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R),当x属于[-1,1]时,|f(x)|≤1

（1）求证：|b|≤1
（2）若f(0)=-1,f(1)=1,求f(x)的表达式

Answer 1

(1) |f(-1)|=|a-b+c|=|-a+b-c|≤1，|f(1)|=|a+b+c|≤1
从而
-1≤-a+b-c≤1
-1≤a+b+c≤1
两式相加，得
-2≤2b≤2，-1≤b≤1，
即|b|≤1
(2)f(0)=c=-1，f(1)=a+b+c=1，
所以 a+b=2，从而 a=2-b≥1 ①
又 x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1,
从而 f(1)=1是区间[-1,1]上的最大值，f(0)=-1是最小值，于是x=0是增减性的分界点，
即 x=0是对称轴，从而 b=0，a=2
f(x)=2x²-1

Answer 2

1）由题意，
-1=<f(1)<=1,即-1=<a+b+c<=1
-1=<f(-1)<=1,即-1=<a-b+c<=1 , 即-1=<-a+b-c<=1
两式相加得：-2=<2b<=2
故|b|<=1
2) f(0)=c=-1
f(1)=a+b+c=a+b-1=1,得：a+b=2,得：b=2-a
f(-1)=a-b+c=a-(2-a)-1=2a-3
由-1=<2a-3<=1,得：1=<a<=2
f(x)=ax^2+(2-a)x-1
f(-1/n)=a/n^2-2/n+a/n-1>=-1,
a>=2/(1+1/n),n趋于无穷时，所以有a>=2
故得：a=2
所以f(x)=2x^2-1