Question

如图,二次函数图像经过点(1,2),(2,3/2),(0,3/2)。（1）求抛物线的解析式。

（2）设该抛物线与x轴交于A.B两点，与y轴交于c点，问抛物线上是否存在一点p，使以A,B,C,P,为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点p的坐标，若不存在，请说明理由。（3

）设该抛物线的对称轴交x轴于点D，问对称轴上是否存在点N，使△NDB与△OCB相似？若存在，请直接写出点N的坐标

Answer 1

解:(1)设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c

∵函数图像经过点(1,2),(2,3/2),(0,3/2)

∴{a+b+c=2

    4a+2b+c=3/2

               c=3/2

解得:{a=-1/2

         b=1

         c=3/2

∴抛物线的解析式是y=-(1/2)x²+x+(3/2)

(2)抛物线上存在一点p，使以A,B,C,P,为顶点的四边形为梯形.

①当梯形以AB、CP为底时, 

∵点C的坐标是(0, 3/2), 抛物线的对称轴是直线X=1,

∴由抛物线的对称性, 可知, 点P的坐标是(2, 3/2)

②当梯形以AC、BP为底时,

BP∥AC,

设直线AC的解析式是y=kx+b,将A(-1, 0),C(0, 3/2)代入,得

{-k+b=0

    b=3/2

解得:{k=3/2

     b=3/2

∴直线AC的解析式是y=(3/2)x+(3/2)

∵BP∥AC,

∴设直线BP的解析式是y=(3/2)x+z

将B(3, 0)代入,得(3/2) ×3+z=0

∴z=-9/2

∴直线BP的解析式是y=(3/2)x-(9/2)

直线BP与抛物线的交点即为点P

由{ y=(3/2)x-(9/2)

   y=-(1/2)x²+x+(3/2)

解得:{x1=3      {x2=-4

     Y1=0       y2=-21/2

∴点P的坐标是(-4, -21/2)

 

(1)  对称轴上存在点N，使△NDB与△OCB相似.

N1(1，1) 、N2(1，-1)、N3(1, 8/3)、N4(1, -8/3)

【过程如下:抛物线的对称轴为直线x=1, 与x轴交于点D(1, 0)

①当△NDB∽△COB时,直线BC与直线x=1的交点就是点N,

此时点N的坐标是N1(1，1)

由对称性,可得点N2(1，-1)，

②当△BDN∽△COB时,由BD/CO=DN/OB,

得DN=(OB·BD)/CO=8/3

∴N3(1,8/3),

由对称性,

可得点N4(1,

-8/3)】

Answer 2

1）
因为(2,3/2),(0,3/2)关于直线x=1对称
所以抛物线的顶点为(1,2)
设抛物线y=a(x-1)²+2
将（0,3/2）代人，得，
a+2=3/2
解得a=-1/2
所以抛物线为：y=(-1/2)(x-1)²+2=(-1/2)x²+x+3/2

2)过C作x轴的平行线，交抛物线于点P,
此时四边形ABPC是梯形,
当x=0时，y=3/2
所以C(0，3/2)
因为C,P关于x=1对称
所以P(2.3/2)

3)抛物线的对称轴为x=1,交x轴于点D(1,0)
分情况，
第一种，，△NDB∽△COB,直线x=1和直线BC的交点就是点N,
N(1，3/4)
(1，3/4)关于x轴的对称点，
N(1，-3/4)
第二种，△BDN∽△COB
(1，4/3),(1，-4/3)
所以有四个点