Question

隐函数求导，求详细过程

Answer 1

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

隐函数求导法则：

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

隐函数与显函数的区别：

1）隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2）显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。比如：y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3）有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

Answer 2

求法之一的详细过程如下图：

Answer 3

两边对X进行求导的时候出错了，既然把y看成是x的函数，那么x^2+y^2的导数就应该是2x+2yy'。不能将y‘提到外面，因为y^2的导数就是2yy'。

Answer 4

z=x²+y²
那么求导得到
z'x=2x +2y *y'x
而x²-xy+y^3=1
于是求导得到2x-y-xy'+3y² *y'=0
即y'=(y-2x)/(3y²-x)
再求二阶导数，y''=[(y'-2)(3y²-x) -(y-2x)(6y*y'-1)]/(3y²-x)²
=[(3y²y'-6y²-xy'+2x) -(6y²*y'-12xyy'-y+2x)]/(3y²-x)²
=( -3y²y'-6y²-xy'+12xyy'+y)/(3y²-x)²