Question

已知点P(x,y)的坐标满足①x－y≤0②x－3y＋2≥0③y＞0,则﹙x－1﹚ˆ2＋yˆ2的取值范围是 谢谢

Answer 1

“山田溪”，很美的名，呵呵，下面我用数形结合解这个题。

解：

①

x－y≤0

y≥x

如图1

②x－3y＋2≥0

y≤x/3+2/3

如图2

③y＞0

如图3

于是P(x ，y)的区域如图4

令﹙x－1﹚²＋y²=R²

这是一个以点（1，0）为圆心R（可变）为半径的同心圆族

其中R²的取值范围就是题目所求的取值范围

如图5

其实R的取值范围就是图4中点（1，0）到P(x ，y)（阴影部分）的距离的取值范围

如图6，最短距离为红线段，最长距离为蓝线段。

其中，红线段就是点（1，0）到直线y=x的距离d

易得d=√2/2（利用平面几何知识或点到直线距离公式都可以）

而蓝线段就是直线y=x/3+2/3的x截距点（-2，0）到点（1，0）的距离D

显然D=1 -（-2）=3

于是√2/2≤R＜3（注意：③y＞0没取等号，所以阴影部分在直线y=0方向是开域，而不是闭域，顶点（-2，0）是要抠除的，所以不能取到R=3。）

于是1/2 ≤ R² ＜ 9

即1/2 ≤﹙x－1﹚²＋y² ＜ 9