Question

设函数f（x）的定义域为（x＞0），且f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（xy）=f（x）-f（y

设函数f（x）的定义域为（x＞0），且f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（xy）=f（x）-f（y）。
⑴求证f（x／y）=f（x）-f（y）；
⑵已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围。
纠正下题目头中的是f（xy）=f（x）+f（y）不是f（xy）=f（x）-f（y）打错了

Answer 1

【1】首先明白，函数自变量的变化，并不会引起函数的变化，也就是说，对于函数y=f（x），将x换成u，变成函数y=f（u），其实y=f（x）与y=f（u）是同一个函数
由此，我们令x=u/y，代入f（xy）=f（x）+f（y）中，有f（u）=f（u/y）+f（y）
因此：f（u/y）=f（u）-f（y）
由前面的分析，我们用x来代替u，所以：f（x/y）=f（x）-f（y）

【2】f（a）＞f（a-1）+2，移项：f(a)-f(a-1)>2
因为【1】的结论：f(a)-f(a-1)=f[a/(a-1)]
又因为2=1+1=f(3)+f(3),由于f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(3)+f(3)=f(9),所以2=f（9）
于是：f[a/(a-1)]>f(9)
由于函数的定义域为x>0,所以：a/(a-1)>0
由于函数为增函数，所以：a/(a-1)>9
由上得：1<a<9/8

Answer 2

由　f（xy）=f（x）+f（y）

f(x *1 ) = f(x) + f(1) 得　f(1) =0

f(x/y *y) = f(x/y) + f(y) = f(x)
　所以
f（x／y）=f（x）-f（y）

2，
f（a）＞f（a-1）+2得　

f(a)-f(a-1) > f(3)+f(3)
f(a/(a-1)) > f(3*3)
a/(a-1) >9

a >8/9

Answer 3

解：本题属于抽象函数，解决这类问题的关键在于题给条件的变形；
（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴f(x y )-f(y)=f(x)=f(x y /y)
∴f(x/y )=f(x)-f(y)
（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a-1）+2
f（a）＞f（a-1）+f(9)
f[(a-1)•9]＜f(a)
∴a-1＞0
a＞0
(a-1)•9＜a
解得：1＜a＜9/8 ，
故a的取值范围（1，9/8 ）

Answer 4

1、
f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1，得：f(1)=2f(1)
所以，f(1)=0
令x=1/y，得：f(1)=f(1/y)+f(y)
即：f(1/y)+f(y)=0
则：f(1/y)=-f(y)
所以，f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
证毕。

2、
f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=3，得：f(9)=2f(3)=2
所以，不等式化为：f(a)>f(a-1)+f(9)
即：f(a)>f(9a-9)
因为定义域为x>0，所以：a>0，9a-9>0，得：a>1；
因为f(x)递增，所以：a>9a-9
得：a<9/8
综上，1<a<9/8

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O