Question

一道几何解答题

如图，CD为等腰Rt△ABC斜边AB上的高，点E、F在直线BC上，∠EDF＝45°，ED的延长线交CA的延长线于点G，连接FG．
（1）求证：D是△CGF的内心；
（2）若AB＝2√2，FG＝5，求△DEF的面积

Answer 1

多次相似：
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°=∠EDF，
又∠DEF是公共角，∴ΔEDB∽ΔEFD，∴∠EFD=∠EDB，
∵∠ADG=∠BDE，∴∠EFD=∠ADG，
∵∠DAG=∠DBF=135°，
∴ΔADG∽ΔBFD，∴DG/DF=AG/BD，
∵D为AB的中点，∴AD=BD，∴DG/DF=AG/AD，
∵∠ADG+∠BDF=∠EDB+∠BDF=45°，∴∠GDF=135°=∠GAD，
∴ΔADG∽ΔDFG，∴∠AGD=∠DGF，又CD平分∠ACB，∴D为ΔCGF的内心。
⑵AD=BD=1/2AB=√2，
由ΔADG∽ΔBFD得：AG/DB=AD/BF，∴AG*BF=AD*BD=2，
在GF上截取GM=AG，FN=BF，连接DM、DN，
易得ΔAGD≌ΔMGD，∴∠DMG=∠DAG=135°，DM=AD=√2，
∴∠DMN=45°，同理∠DNM=45°，DM=DN=√2，
∴∠MDN=90°，∴MN=√(DM^2+DN^2)=2。
∴GM+FN=5-2=3，∴AG+BF=3，∴AG=1、BF=2或AG=2，BF=1，
从图形可看出BF>AG，∴BF=2，
过D作DH⊥GF于H，则DH=MH=NH=1/2MN=1。
∴DF=√(FH^2+DH^2)=√10，
∴SΔDEB/SΔDEF=(BD/DF)^2=1/5，
SΔBDF/SΔDGF=(DF/GF)^2=2/5，
SΔBDF=2/5*1/2GF*DH=1，
∴SΔDEB/(SΔDEB+1)=1/5，
SΔDEB=1/4，
∴SΔDEF=1+1/4=5/4。

Answer 2

首先要知道三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,(该点到三边距离相等)
（1）问中只需要证明角CDG和CDF为直角，由等腰直角便知CD=DG=DF
这题有问题，因为∠CDA就为90度了