Question

已知函数f(x)=loga1+x1-x（a＞0，且a≠1）（Ⅰ）求函数f（x）的...

已知函数f(x)=loga1+x1-x（a＞0，且a≠1） （Ⅰ）求函数f（x）的定义域； （Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性、并证明； （Ⅲ）求使不等式f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f(x)=loga1+x1-x（a＞0，且a≠1），可得1+x1-x＞0，即
（1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=loga1-x1+x=-loga1+x1-x=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，当a＞1时，1+x1-x＞1，即 2xx-1 ＜0，解得0＜x＜1．
当1＞a＞0时，0＜1+x1-x＜1，即 1+x1-x＞01+x1-x＜1，即
-1＜x＜1x＞1 ，或x＜0，解得-1＜x＜0．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为{x|0＜x＜1}；
当1＞a＞0时，不等式的解集为{x|-1＜x＜0}．