Question

已知函数f（x）=x3-x．（1）求曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程...

已知函数f（x）=x3-x． （1）求曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程； （2）求y=f（x）的单调区间． （3）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

（1）解：函数f（x）=x3-x的导数f′（x）=3x2-1，
则在点M（1，0）处的切线斜率为3-1=2，
故亩没曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程为y=2（x-1），即y=2x-2．
（2）解：令f′（x）＞0得x＞33或x＜-33；令f′（x）＜0，则-33＜x＜33．
故f（x）的增区间为（-∞，芦做-33）和（33，+∞）；减区间为(-33，33)；
（3）证明：设切点为M（t，t3-t），N（a，b）
易知KMN=K切线，所以t3-t-bt-a=3t2-1，
可化为 2t3-3at2+a+b=0，①
于是，若过点N（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，
则方程①有三个相异实数根，记g（t）=2t3-3at2+a+b，
则g'（t）=6t（t-a），
易知g（t）的极大值为g（0）=a+b，极小值为g（a）=2a3-3a3+a+b=b-f（a），
综上，如果过N（a，b）可作曲线三条切线，则a+b＞0b-f(a)＜0，
即-a＜陪耐衡b＜f（a）．