Question

初三数学几何体

如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1.分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N。 （1）求证：EM+FN=AB； （2）求当△ABC面积的最大值； （3）当△ABC面积最大时，在直线MN上找一点P, 使得EP+FP的值最小，求出这个最小值。（结果可保留根号）

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Answer 1

1.

作CD⊥AB于D

易证Rt△ACD≌Rt△EAM，Rt△BCD≌Rt△EBN

[∵∠CAD=∠AEM(都是∠EAM的余角)，AC=EA

∴Rt△ACD≌Rt△EAM]

2.

当CD最大时△ABC的面积有最大值

作AG⊥BC于G

AG=CG，AC=BC

AG²+BG²=AG²+(BC-CG)²=AG²+(√2·AG-AG)²=(4-2√2)AG²=AB²=1

AG²=(2+√2)/4

AG=√(2+√2)/2

BC=√2·AG=√(4+2√2)/2

S=(√2+1)/4

3.

P为AB中点时，EP+FP有最小值

CP=2S/AB=(√2+1)/2

EF=MN=AM+BN+AB=2CP+AB=√2+2

EE1=AB=1

(EP+FP)min=E1F=√(7+4√2)

Answer 2