Question

求教（双曲线）高中数学题

已知点F1，F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|^2/|PF1|的最小值为9a，则双曲线的离心率为（）
A.2 B.5 C.3 D.2或5

Answer 1

选B。
此题比较综合，考察双曲线和函数极值最值讨论问题。
设e=c/a是该双曲线的离心率。
由于P在左支，|PF1|=-a-ex,|PF2|=a-ex.
设f(x)=|PF2|^2/|PF1|=(a-ex)^2/(-a-ex).
对x求导得：f'(x)=(a-ex)*(3c+e²x)/(a+ex)², 其中x<=a.
由于x<=a,a-ex>0总成立。
令f'(x)=0,得到3c+e²x=0,于是x=-3a²/c.f(x)先减后增，有最小值。
下面讨论-3a²/c和-a的大小关系，作差：-a-(-3a²/c)=(3a-c)*a/c.
（1）若3a<=c(e>=3)，-a在-3a²/c左侧，最小值在x=-a处取到,
min{f(x)}=f(-a)=(a+c)²/(c-a)=9a,化简得c²-7ac+10a²=0,
c=2a或c=5a，但是c=2a时e=2与假设e>=3矛盾，舍去。故e=5。
（2）若3a>c，-a在-3a²/c右侧，最小值在x=-3a²/c处取到,
min{f(x)}=f(-3a²/c)=(a+3a)²/(-a+3a)=8a,与最小值为9a矛盾。舍去此情况。
综上所述，该双曲线离心率只能是5。选B。

Answer 2

e＝5 应选B
设|PF2|＝m， |PF1|＝n，则m－n=2a
PF2|^2/|PF1|＝m²／n=(n+2a)²／n＝(4a²＋4an＋n²)／n
＝4a²／n＋n＋4a (n≧c－a)
若最小值9a，不能均值不等式，只能利用单调性，当n＝c－a时取最小，代入
得，e＝2或5，但e＝2时，c＝2a，n≧c－a＝a
上式不在n＝c－a＝a处取最小，而在2a处取最小（由均值不等式）故舍去

追问

怎么算的

追答

设|PF2|＝m， |PF1|＝n，则m－n=2a
PF2|^2/|PF1|＝m²／n=(n+2a)²／n＝(4a²＋4an＋n²)／n
＝4a²／n＋n＋4a (n≧c－a)
若最小值9a，不能均值不等式，只能利用单调性，此时c－a≥2a，得c≥3a，e≥3
当n＝c－a时取最小，代入
得，e＝2或5，但e＝2时，舍去
故只能有e＝5