Question

已知函数f(x)=2^x-a/2^x(a∈R),将f(x)图像向右平移两个单位，得函数y=g(x)的函数。

若函数h(x)g(x)y=1F(X)=f(x)+h(x),已知F（X）大于2+3a对任意X∈（1，+∞）恒成立，求a范围
若函数h(x)与g(x)关于直线y=1对称，设F(X)=f(x)+h(x)

Answer 1

解：函数f(x)=2^x-a/2^x (a∈R)，将f(x)图像向右平移两个单位，得函数y=g(x)的图像，故
g(x)=f(x-2)=2^(x-2)-a/2^(x-2)
函数h(x)与g(x)关于直线y=1对称，设h(x)上任意一点(x,y)，其关于直线y=1的对称点为(x,2-y),该点在函数y=g(x)的图像上，故
2-y=2^(x-2)-a/2^(x-2)
得y=2-2^(x-2)+a/2^(x-2)
故h(x)=2-2^(x-2)+a/2^(x-2)
则F(X)=f(x)+h(x)
=2^x-a/2^x+2-2^(x-2)+a/2^(x-2)
=3/4*(2^x-a/2^x)+2>2+3a
对任意x∈（1，+∞）恒成立
1、当a≥0时，
F(x)=3/4*(2^x-a/2^x)+2为增函数，x∈（1，+∞）时极小值为F(1)，故只需
F(1)=3/4*(2-a/2)+2≥2+3a
解得a≤4/9
故此时0≤a≤4/9
2、当a<0时，-a>0，则
F(x)=3/4*(2^x-a/2^x)+2
=3/4*{[2^(x/2)]^2+[√(-a)/2^(x/2)]^2-2*2^(x/2)*√(-a)/2^(x/2)+2*2^(x/2)*√(-a)/2^(x/2)}+2
=3/4*{[2^(x/2)-√(-a)/2^(x/2)]^2+2√(-a)}+2
=3/4*{[2^(x/2)-√(-a)/2^(x/2)]^2+3/2*√(-a)+2
解2^(x/2)-√(-a)/2^(x/2)≥0得
x≥log (2) √(-a)
①若log (2) √(-a)<1，也即-4<a<0时，
F(x)=3/4*{[2^(x/2)-√(-a)/2^(x/2)]^2+3/2*√(-a)+2
随着x的增大，2^(x/2)-√(-a)/2^(x/2)>0且增大，F(x)在x∈（1，+∞）为增函数，故只需
F(1)=3/4*(2-a/2)+2≥2+3a解得a≤4/9，故需-4<a<0；
②若log (2) √(-a)≥1，也即a≤-4时，
F(x)=3/4*{[2^(x/2)-√(-a)/2^(x/2)]^2+3/2*√(-a)+2
的最小值为F(log (2) √(-a))，故只需
F(log (2) √(-a))=3/2*√(-a)+2≥2+3a，也即
3/2*√(-a)≥3a
显然成立。
故a≤-4也满足条件。
综上知a的取值范围为a≤4/9
不明白请追问。

Answer 2

已知函数f(x)=2^x-a/2^x,将y=f(x)的图像向右平移两个单位，得到y=g(x)的函数
①若函数y=h(x)与函数y+g(x)的图像关羽直线y=1对称，求函数y=h(x)的解析式
②设F（x）=f(x)/a+h(x),已知f(x)的最小值是m，且m＞2+根号7，求实数a的取值范围
备注：
①答案一：h(x)=2-2^(x-2)+a/2^(x-2)
答案2.1/2＜a＜2
②请写出解题过程和每一步的详细解释
③尽可能用简便方法解
在此谢过各位答君
(1)解析：∵函数f(x)=2^x-a/2^x
右平移两个单位得：g(x)= 2^(x-2)-a/2^(x-2)
∵函数y=h(x)与函数y+g(x)的图像关羽直线y=1对称
即可理解为函数h(x)与函数h(x)+g(x)的图像关于直线y=1对称
显然，这是不可求的
我认为你在输入时输入有误
不仿将“函数y=h(x)与函数y+g(x)的图像关羽直线y=1对称”
改成“函数y=h(x)与函数y=g(x)的图像关于直线y=1对称”
则，h(x)=1+(1-g(x))=2-g(x)=2-2^(x-2)+a/2^(x-2)
(2)解析：∵F(x)=f(x)/a+h(x)
F(x)= 2^x/a-1/2^x+2-2^(x-2)+a/2^(x-2)=2^x/a-1/2^x+2-2^x/4+4a/2^x
=2^x(4-a)/(4a)+(4a-1)/2^x+2
为了计算方便，设t=(4-a)/(4a), s=4a-1
F(x) =2^x*t+s/2^x+2
令F’(x)=1/(2^xln2)*t-s/[2^(3x)*ln2]=0
解得2^x=√(st)/t
∵f(x)的最小值是m，且m＞2+根号7
此处你出现输入错误，应该是F(x)的最小值是m，且m＞2+根号7
∴m=√(st)/t*t+s/(√(st)/t)+2=2√(st)+2>2+√7
∴4st=(4-a)(4a-1)/a>7==>2a^2-5a+2<0==>1/2<a<2
∴实数a的取值范围1/2<a<2

希望你以后提问时，认真核对题目，再提交，否则会给回答者带来极大麻烦，甚至使无人回答，对你不利。本来我可以早些时候就可给你回答。

Answer 3

楼主确定题目没写错吗～这里。。h(x)g(x)y=1F(X)

追问

若函数h(x)与g(x)关于直线y=1对称，设F(X)=f(x)+h(x) 打得急了。。。

追答

这样啊。。。
首先g(x)比较容易我就直接写出来吧。。。g(x)=2^x/4-4a·2^(-x)
那么h(x)-1=-[g(x)-1]=4a·2^(-x)-2^x/4+1，即h(x)=4a·2^(-x)-2^x/4+2，
所以F(x)=3a·2^(-x)+3·2^x/4+2>2+3a
也即a[2^(-x)-1]+2^x/4>0
因为X∈（1，+∞）,所以2^(-x)-1<0,所以a<1/4·2^x/[1-2^(-x)]
设函数H(x)=1/4·2^x/[1-2^(-x)]
求导得H'(x)
1 ln2·2^x
=—·————————
4 1-2·2^(-x)+2^(-2x)
当X∈（1，+∞）时明显大于0,即H(x)在（1，+∞）上单调递增
所以a必须满足a≤H(1)=1.
所以a的取值范围是a≤1.

十二级的大哥的F(x)好像错了吧。。。
F(x)=f(x)+h(x)
=2^x-a/2^x+2-2^(x-2)+a/2^(x-2)
=2^x+2-2^(x-2)+a/2^(x-2)-a/2^x
这里a/2^(x-2)-a/2^x应该是等于3a/2^x吧？