Question

∫1/√x(1-x)dx 计算结果是多少， 我算出来是 2arcsin（√x）+c，课后答案给出的是arcsin（2x-1）+c；

Answer 1

两个答案都是正确的，因为不定积分的结果是函数曲线族

他们每个对应坐标之间都相隔着相等的距离

就如这题

∫ dx/√[x(1 - x)] = ∫ dx/√(x - x²) = ∫ dx/[1/4 - (1/4)(2x - 1)²] = ∫ d(2x - 1)/[1 - (2x - 1)²]

= arcsin(2x - 1) + C

∫ dx/√[x(1 - x)] = ∫ (2u du)/[u√(1 - u²)] = 2arcsin√x + C，u = √x，dx = 2u du

在x∈[0，1]

设y = 2arcsin√x，y ≥ 0

sin(y/2) = √x，cos(y/2) = √(1 - x)

cosy = cos²(y/2) - sin²(y/2) = (1 - x) - x = 1 - 2x

所以y = arccos(1 - 2x) = π/2 - arcsin(1 - 2x) = π/2 + arcsin(2x - 1)

即2arcsin√x = π/2 + arcsin(2x - 1)

所以

∫ dx/[x(1 - x)]

= 2arcsin√x + C

= [π/2 + arcsin(2x - 1)] + C

= arcsin(2x - 1) + (π/2 + C)

= arcsin(2x - 1) + C'，C' = π/2 + C