Question

高二数学空间向量

Answer 1

k1r1+k2r2+k3r3+k4r4=0,(k1、k2、k3、k4不全为零，不妨设k4不为0)
因为k1+k2+k3+k4=0,k1=-k2-k3-k4
上式等价变形为：
(-k2-k3-k4)r1+k2r2+k3r3+k4r4=0
k4r4-k4r1=-k2r2+k2r1-k3r3+k3r1=(-k2)(r2-r1)+(-k3)(r3-r1)
r4-r1=(-k2/k4)(r2-r1)+(-k3/k4)(r3-r1)
P1P4=P1O+OP4=r4-r1, P1P3=r3-r1, P1P2=r2-r1
即：P1P4=(-k2/k4)P1P2+(-k3/k4)P1P3
所以P4在P1、P2、P3所在平面内。

（倒过来推略）
证毕

追问

必要性能证一遍么？小妹愚钝，没想出来……

追答

已知P1P2P3P4共面,则必有P1P4=mP1P2+nP1P3.
(若P1P2P3共线且P4不在线上,等式不能成立.但换一下顺序位置一样可以.P1P3=mP1P2+nP1P4)
r4-r1=m(r2-r1)+n(r3-r1)
(m+n-1)r1-mr2-nr3+r4=0
k1=m+n-1
k2=-m
k3=-n
k4=1
k1+k2+k3+k4=0
证毕